Theorem basmex 13412

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13411	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5479	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 418	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2835	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   Basecbs 13352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358

This theorem is used by:  basm  13414  ismgmid  13697  ismnd  13732  dfgrp2e  13833  grpinvval  13848  grplactfval  13906  mulgval  13925  mulgnngzsum  13930  mulgnn0gzsum  13931  mulg1  13932  mulgnnp1  13933  mgpbas  14225  rrgval  14570  islssm  14694  islidlm  14816