Theorem basmex 12474

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12473	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5296	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2237	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 119	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5528	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 412	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2743	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   dom cdm 4611   Rel wrel 4616   Fn wfn 5193   ` cfv 5198   Basecbs 12416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422

This theorem is referenced by:  ismgmid  12631  ismnd  12655  dfgrp2e  12733  grpinvval  12746