ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  basmex Unicode version

Theorem basmex 12500
Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
basmex.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
basmex  |-  ( A  e.  B  ->  G  e.  _V )

Proof of Theorem basmex
StepHypRef Expression
1 basfn 12499 . . . 4  |-  Base  Fn  _V
2 fnrel 5310 . . . 4  |-  ( Base 
Fn  _V  ->  Rel  Base )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  Base
4 basmex.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
54eleq2i 2244 . . . 4  |-  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  G )
)
65biimpi 120 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
7 relelfvdm 5543 . . 3  |-  ( ( Rel  Base  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e.  dom  Base )
83, 6, 7sylancr 414 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  G  e.  dom  Base )
98elexd 2750 1  |-  ( A  e.  B  ->  G  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   dom cdm 4623   Rel wrel 4628    Fn wfn 5207   ` cfv 5212   Basecbs 12442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-inn 8906  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448
This theorem is referenced by:  ismgmid  12685  ismnd  12709  dfgrp2e  12790  grpinvval  12803  grplactfval  12857  mulgval  12872  mulg1  12876  mulgnnp1  12877
  Copyright terms: Public domain W3C validator