Theorem basmex 13087

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13086	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5418	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2296	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5658	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2813	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   dom cdm 4718   Rel wrel 4723   Fn wfn 5312   ` cfv 5317   Basecbs 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033

This theorem is referenced by:  basm  13089  ismgmid  13405  ismnd  13447  dfgrp2e  13556  grpinvval  13571  grplactfval  13629  mulgval  13654  mulgnngsum  13659  mulgnn0gsum  13660  mulg1  13661  mulgnnp1  13662  rrgval  14220  islssm  14315  islidlm  14437