Theorem basmex 13264

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13263	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5453	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2299	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5701	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2826	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   dom cdm 4748   Rel wrel 4753   Fn wfn 5346   ` cfv 5351   Basecbs 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210

This theorem is referenced by:  basm  13266  ismgmid  13582  ismnd  13624  dfgrp2e  13733  grpinvval  13748  grplactfval  13806  mulgval  13831  mulgnngsum  13836  mulgnn0gsum  13837  mulg1  13838  mulgnnp1  13839  rrgval  14399  islssm  14497  islidlm  14619