Theorem basmex 13469

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13468	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5482	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5730	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 418	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2835	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   Basecbs 13409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-inn 9314  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415

This theorem is used by:  basm  13471  ismgmid  13755  ismnd  13790  dfgrp2e  13891  grpinvval  13906  grplactfval  13964  mulgval  13983  mulgnngzsum  13988  mulgnn0gzsum  13989  mulg1  13990  mulgnnp1  13991  cntzval  14152  mgpbas  14331  rrgval  14678  islssm  14802  islidlm  14924