Theorem basmex 13464

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
basmex	|- ( A e. B -> G e. _V )

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13463	. . . 4 |- Base Fn _V
2		fnrel 5479	. . . 4 |- ( Base Fn _V -> Rel Base )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( A e. B <-> A e. ( Base ` G ) )
6	5	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. B -> A e. ( Base ` G ) )
7		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel Base /\ A e. ( Base ` G ) ) -> G e. dom Base )
8	3, 6, 7	sylancr 418	. 2 |- ( A e. B -> G e. dom Base )
9	8	elexd 2835	1 |- ( A e. B -> G e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   Basecbs 13404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410

This theorem is used by:  basm  13466  ismgmid  13750  ismnd  13785  dfgrp2e  13886  grpinvval  13901  grplactfval  13959  mulgval  13978  mulgnngzsum  13983  mulgnn0gzsum  13984  mulg1  13985  mulgnnp1  13986  cntzval  14147  mgpbas  14309  rrgval  14654  islssm  14778  islidlm  14900