Theorem grpsubval 13692

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` G ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4	2, 3	basmexd 13206	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> G e. _V )
5		grpsubval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . . 4 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13691	. . 3 |- ( G e. _V -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
10		oveq1 6035	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
11		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
12	11	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
13	10, 12	sylan9eq 2284	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
14	13	adantl 277	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
15		simpr 110	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
16		plusgslid 13258	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
17	16	slotex 13172	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
18	4, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
20		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13688	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
23		basfn 13204	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
24		funfvex 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
25	24	funfni 5439	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
26	23, 4, 25	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
27	1, 26	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B e. _V )
28	27	mptexd 5891	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) e. _V )
29	22, 28	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I e. _V )
30		fvexg 5667	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
31	29, 30	sylancom 420	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
32		ovexg 6062	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ ( I ` Y ) e. _V ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6159	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   |-> cmpt 4155   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   iota_crio 5980  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   invgcminusg 13647   -gcsg 13648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-minusg 13650  df-sbg 13651

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13719  grpsubrcan  13727  grpinvsub  13728  grpinvval2  13729  grpsubid  13730  grpsubid1  13731  grpsubeq0  13732  grpsubadd0sub  13733  grpsubadd  13734  grpsubsub  13735  grpaddsubass  13736  grpnpcan  13738  pwssub  13759  mulgsubdir  13812  subgsubcl  13835  subgsub  13836  issubg4m  13843  qussub  13887  ghmsub  13901  ablsub2inv  13961  ablsub4  13963  ablsubsub4  13969  eqgabl  13980  rngsubdi  14028  rngsubdir  14029  ringsubdi  14133  ringsubdir  14134  lmodvsubval2  14421  lmodsubdir  14424  cnfldsub  14654