Theorem grpsubval 13574

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` G ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4	2, 3	basmexd 13088	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> G e. _V )
5		grpsubval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . . 4 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13573	. . 3 |- ( G e. _V -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
10		oveq1 6007	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
11		fveq2 5626	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
12	11	oveq2d 6016	. . . 4 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
13	10, 12	sylan9eq 2282	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
14	13	adantl 277	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
15		simpr 110	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
16		plusgslid 13140	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
17	16	slotex 13054	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
18	4, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
20		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13570	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
23		basfn 13086	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
24		funfvex 5643	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
25	24	funfni 5422	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
26	23, 4, 25	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
27	1, 26	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B e. _V )
28	27	mptexd 5865	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) e. _V )
29	22, 28	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I e. _V )
30		fvexg 5645	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
31	29, 30	sylancom 420	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
32		ovexg 6034	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ ( I ` Y ) e. _V ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6131	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4144   Fn wfn 5312   ` cfv 5317   iota_crio 5952  (class class class)co 6000   e. cmpo 6002   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   invgcminusg 13529   -gcsg 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-minusg 13532  df-sbg 13533

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13601  grpsubrcan  13609  grpinvsub  13610  grpinvval2  13611  grpsubid  13612  grpsubid1  13613  grpsubeq0  13614  grpsubadd0sub  13615  grpsubadd  13616  grpsubsub  13617  grpaddsubass  13618  grpnpcan  13620  pwssub  13641  mulgsubdir  13694  subgsubcl  13717  subgsub  13718  issubg4m  13725  qussub  13769  ghmsub  13783  ablsub2inv  13843  ablsub4  13845  ablsubsub4  13851  eqgabl  13862  rngsubdi  13909  rngsubdir  13910  ringsubdi  14014  ringsubdir  14015  lmodvsubval2  14300  lmodsubdir  14303  cnfldsub  14533