Theorem grpsubval 13900

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` G ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4	2, 3	basmexd 13462	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> G e. _V )
5		grpsubval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . . 4 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13899	. . 3 |- ( G e. _V -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
10		oveq1 6092	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
11		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
12	11	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
13	10, 12	sylan9eq 2291	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
14	13	adantl 277	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
15		simpr 110	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
16		plusgslid 13515	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
17	16	slotex 13428	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
18	4, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
20		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13896	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
23		basfn 13460	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
24		funfvex 5712	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
25	24	funfni 5483	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
26	23, 4, 25	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
27	1, 26	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B e. _V )
28	27	mptexd 5944	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) e. _V )
29	22, 28	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I e. _V )
30		fvexg 5714	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
31	29, 30	sylancom 424	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
32		ovexg 6119	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ ( I ` Y ) e. _V ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6216	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   iota_crio 6037  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   0gc0g 13659   invgcminusg 13855   -gcsg 13856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9307  df-2 9365  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-minusg 13858  df-sbg 13859

This theorem is used by:  grpsubinv  13927  grpsubrcan  13935  grpinvsub  13936  grpinvval2  13937  grpsubid  13938  grpsubid1  13939  grpsubeq0  13940  grpsubadd0sub  13941  grpsubadd  13942  grpsubsub  13943  grpaddsubass  13944  grpnpcan  13946  mulgsubdir  14014  subgsubcl  14037  subgsub  14038  issubg4m  14045  qussub  14089  ghmsub  14103  ablsub2inv  14164  ablsub4  14166  ablsubsub4  14172  eqgabl  14183  pwssub  14265  rngsubdi  14299  rngsubdir  14300  ringsubdi  14410  ringsubdir  14411  opprdrng  14669  lmodvsubval2  14728  lmodsubdir  14731  cnfldsub  14961