Theorem grpsubval 13909

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` G ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4	2, 3	basmexd 13470	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> G e. _V )
5		grpsubval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . . 4 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13908	. . 3 |- ( G e. _V -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
10		oveq1 6095	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
11		fveq2 5698	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
12	11	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
13	10, 12	sylan9eq 2291	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
14	13	adantl 277	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
15		simpr 110	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
16		plusgslid 13524	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
17	16	slotex 13436	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
18	4, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
20		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13905	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
23		basfn 13468	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
24		funfvex 5715	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
25	24	funfni 5486	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
26	23, 4, 25	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
27	1, 26	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B e. _V )
28	27	mptexd 5947	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) e. _V )
29	22, 28	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I e. _V )
30		fvexg 5717	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
31	29, 30	sylancom 424	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
32		ovexg 6122	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ ( I ` Y ) e. _V ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6219	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4193   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   0gc0g 13668   invgcminusg 13864   -gcsg 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-minusg 13867  df-sbg 13868

This theorem is used by:  grpsubinv  13936  grpsubrcan  13944  grpinvsub  13945  grpinvval2  13946  grpsubid  13947  grpsubid1  13948  grpsubeq0  13949  grpsubadd0sub  13950  grpsubadd  13951  grpsubsub  13952  grpaddsubass  13953  grpnpcan  13955  mulgsubdir  14023  subgsubcl  14046  subgsub  14047  issubg4m  14054  qussub  14098  ghmsub  14112  ablsub2inv  14204  ablsub4  14206  ablsubsub4  14212  eqgabl  14223  pwssub  14322  rngsubdi  14356  rngsubdir  14357  ringsubdi  14467  ringsubdir  14468  opprdrng  14728  lmodvsubval2  14787  lmodsubdir  14790  cnfldsub  15020