Theorem grpsubval 13647

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` G ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4	2, 3	basmexd 13161	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> G e. _V )
5		grpsubval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . . 4 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13646	. . 3 |- ( G e. _V -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) ) )
10		oveq1 6025	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
11		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
12	11	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
13	10, 12	sylan9eq 2284	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
14	13	adantl 277	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
15		simpr 110	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
16		plusgslid 13213	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
17	16	slotex 13127	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
18	4, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
20		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13643	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I = ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) )
23		basfn 13159	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
24		funfvex 5656	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
25	24	funfni 5432	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
26	23, 4, 25	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
27	1, 26	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> B e. _V )
28	27	mptexd 5881	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( z e. B |-> ( iota_ w e. B ( w .+ z ) = ( 0g ` G ) ) ) e. _V )
29	22, 28	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> I e. _V )
30		fvexg 5658	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
31	29, 30	sylancom 420	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. _V )
32		ovexg 6052	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ ( I ` Y ) e. _V ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V )
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6149	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   iota_crio 5970  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   invgcminusg 13602   -gcsg 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-minusg 13605  df-sbg 13606

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13674  grpsubrcan  13682  grpinvsub  13683  grpinvval2  13684  grpsubid  13685  grpsubid1  13686  grpsubeq0  13687  grpsubadd0sub  13688  grpsubadd  13689  grpsubsub  13690  grpaddsubass  13691  grpnpcan  13693  pwssub  13714  mulgsubdir  13767  subgsubcl  13790  subgsub  13791  issubg4m  13798  qussub  13842  ghmsub  13856  ablsub2inv  13916  ablsub4  13918  ablsubsub4  13924  eqgabl  13935  rngsubdi  13983  rngsubdir  13984  ringsubdi  14088  ringsubdir  14089  lmodvsubval2  14375  lmodsubdir  14378  cnfldsub  14608