Theorem basmexd 12525

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
basmexd.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
basmexd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12523	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5316	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
5		basmexd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	4, 5	eleqtrd 2256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5549	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2752	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  dom cdm 4628  Rel wrel 4633   Fn wfn 5213  ‘cfv 5218  Basecbs 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-inn 8923  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471

This theorem is referenced by:  grppropd  12899  grpsubval  12925  grpsubpropd2  12981