Theorem basmexd 13206

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
basmexd.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
basmexd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13204	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5435	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
5		basmexd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	4, 5	eleqtrd 2310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5680	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2817	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  dom cdm 4731  Rel wrel 4736   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  Basecbs 13145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151

This theorem is referenced by:  gsumress  13541  grppropd  13663  grpsubval  13692  grpsubpropd2  13751