Theorem basmexd 13357

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
basmexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
basmexd.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
basmexd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13355	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5459	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmexd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
5		basmexd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	4, 5	eleqtrd 2313	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5707	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  dom cdm 4754  Rel wrel 4759   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  Basecbs 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302

This theorem is referenced by:  gsumress  13658  grppropd  13772  grpsubval  13801  grpsubpropd2  13860