Theorem blfn 14107

Description: The ball function has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
blfn	|- ball Fn _V

Proof of Theorem blfn

Dummy variables x d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 |- d e. _V
2	1	dmex 4932	. . . 4 |- dom d e. _V
3	2	dmex 4932	. . 3 |- dom dom d e. _V
4		xrex 9931	. . 3 |- RR* e. _V
5	3, 4	mpoex 6272	. 2 |- ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) e. _V
6		df-bl 14102	. 2 |- ball = ( d e. _V |-> ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) )
7	5, 6	fnmpti 5386	1 |- ball Fn _V

Syntax hints:   {crab 2479   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   Fn wfn 5253  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   RR*cxr 8060   < clt 8061   ballcbl 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-bl 14102

This theorem is referenced by:  mopnset  14108