Theorem blfn 14699

Description: The ball function has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
blfn	|- ball Fn _V

Proof of Theorem blfn

Dummy variables x d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. . . . 5 |- d e. _V
2	1	dmex 5024	. . . 4 |- dom d e. _V
3	2	dmex 5024	. . 3 |- dom dom d e. _V
4		xrex 10189	. . 3 |- RR* e. _V
5	3, 4	mpoex 6410	. 2 |- ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) e. _V
6		df-bl 14694	. 2 |- ball = ( d e. _V |-> ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) )
7	5, 6	fnmpti 5487	1 |- ball Fn _V

Syntax hints:   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   Fn wfn 5347  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   RR*cxr 8307   < clt 8308   ballcbl 14686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-bl 14694

This theorem is referenced by:  mopnset  14700