Theorem blfn 14825

Description: The ball function has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
blfn	|- ball Fn _V

Proof of Theorem blfn

Dummy variables x d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . . 5 |- d e. _V
2	1	dmex 5029	. . . 4 |- dom d e. _V
3	2	dmex 5029	. . 3 |- dom dom d e. _V
4		xrex 10208	. . 3 |- RR* e. _V
5	3, 4	mpoex 6423	. 2 |- ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) e. _V
6		df-bl 14820	. 2 |- ball = ( d e. _V |-> ( x e. dom dom d , z e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < z } ) )
7	5, 6	fnmpti 5492	1 |- ball Fn _V

Syntax hints:   {crab 2526   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   Fn wfn 5352  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   RR*cxr 8323   < clt 8324   ballcbl 14812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-bl 14820

This theorem is referenced by:  mopnset  14826