Theorem blfn 14568

Description: The ball function has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
blfn	⊢ ball Fn V

Proof of Theorem blfn

Dummy variables 𝑥 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . 5 ⊢ 𝑑 ∈ V
2	1	dmex 4999	. . . 4 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
3	2	dmex 4999	. . 3 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
4		xrex 10091	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
5	3, 4	mpoex 6379	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom 𝑑, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (𝑥𝑑𝑦) < 𝑧}) ∈ V
6		df-bl 14563	. 2 ⊢ ball = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ dom dom 𝑑, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (𝑥𝑑𝑦) < 𝑧}))
7	5, 6	fnmpti 5461	1 ⊢ ball Fn V

Syntax hints:  {crab 2514  Vcvv 2802   class class class wbr 4088  dom cdm 4725   Fn wfn 5321  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214  ballcbl 14555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-bl 14563

This theorem is referenced by:  mopnset  14569