Theorem blfn 14480

Description: The ball function has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
blfn	⊢ ball Fn V

Proof of Theorem blfn

Dummy variables 𝑥 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2782	. . . . 5 ⊢ 𝑑 ∈ V
2	1	dmex 4967	. . . 4 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
3	2	dmex 4967	. . 3 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
4		xrex 10020	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
5	3, 4	mpoex 6330	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom 𝑑, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (𝑥𝑑𝑦) < 𝑧}) ∈ V
6		df-bl 14475	. 2 ⊢ ball = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ dom dom 𝑑, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (𝑥𝑑𝑦) < 𝑧}))
7	5, 6	fnmpti 5428	1 ⊢ ball Fn V

Syntax hints:  {crab 2492  Vcvv 2779   class class class wbr 4062  dom cdm 4696   Fn wfn 5289  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976  ℝ^*cxr 8148   < clt 8149  ballcbl 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-bl 14475

This theorem is referenced by:  mopnset  14481