Theorem mopnset 14700

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	|- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14699	. . . . . 6 |- ball Fn _V
2		vex 2816	. . . . . 6 |- d e. _V
3		funfvex 5687	. . . . . . 7 |- ( ( Fun ball /\ d e. dom ball ) -> ( ball ` d ) e. _V )
4	3	funfni 5458	. . . . . 6 |- ( ( ball Fn _V /\ d e. _V ) -> ( ball ` d ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ball ` d ) e. _V
6	5	rnex 5025	. . . 4 |- ran ( ball ` d ) e. _V
7		tgvalex 13476	. . . 4 |- ( ran ( ball ` d ) e. _V -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
9	8	ax-gen 1498	. 2 |- A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
10		df-mopn 14695	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
11	10	mptfvex 5763	. 2 |- ( ( A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V /\ D e. V ) -> ( MetOpen ` D ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	1 |- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1396   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   U.cuni 3914   ran crn 4750   Fn wfn 5347   ` cfv 5352   topGenctg 13467   *Metcxmet 14684   ballcbl 14686   MetOpencmopn 14689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-topgen 13473  df-bl 14694  df-mopn 14695

This theorem is referenced by:  cntopex  14702