Theorem mopnset 14628

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	|- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14627	. . . . . 6 |- ball Fn _V
2		vex 2806	. . . . . 6 |- d e. _V
3		funfvex 5665	. . . . . . 7 |- ( ( Fun ball /\ d e. dom ball ) -> ( ball ` d ) e. _V )
4	3	funfni 5439	. . . . . 6 |- ( ( ball Fn _V /\ d e. _V ) -> ( ball ` d ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ball ` d ) e. _V
6	5	rnex 5006	. . . 4 |- ran ( ball ` d ) e. _V
7		tgvalex 13407	. . . 4 |- ( ran ( ball ` d ) e. _V -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
9	8	ax-gen 1498	. 2 |- A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
10		df-mopn 14623	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
11	10	mptfvex 5741	. 2 |- ( ( A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V /\ D e. V ) -> ( MetOpen ` D ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	1 |- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1396   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   U.cuni 3898   ran crn 4732   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   topGenctg 13398   *Metcxmet 14612   ballcbl 14614   MetOpencmopn 14617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-topgen 13404  df-bl 14622  df-mopn 14623

This theorem is referenced by:  cntopex  14630