Theorem mopnset 14569

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	|- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14568	. . . . . 6 |- ball Fn _V
2		vex 2805	. . . . . 6 |- d e. _V
3		funfvex 5656	. . . . . . 7 |- ( ( Fun ball /\ d e. dom ball ) -> ( ball ` d ) e. _V )
4	3	funfni 5432	. . . . . 6 |- ( ( ball Fn _V /\ d e. _V ) -> ( ball ` d ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ball ` d ) e. _V
6	5	rnex 5000	. . . 4 |- ran ( ball ` d ) e. _V
7		tgvalex 13348	. . . 4 |- ( ran ( ball ` d ) e. _V -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
9	8	ax-gen 1497	. 2 |- A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
10		df-mopn 14564	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
11	10	mptfvex 5732	. 2 |- ( ( A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V /\ D e. V ) -> ( MetOpen ` D ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	1 |- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1395   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   U.cuni 3893   ran crn 4726   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   topGenctg 13339   *Metcxmet 14553   ballcbl 14555   MetOpencmopn 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-topgen 13345  df-bl 14563  df-mopn 14564

This theorem is referenced by:  cntopex  14571