Theorem mopnset 14872

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	|- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14871	. . . . . 6 |- ball Fn _V
2		vex 2824	. . . . . 6 |- d e. _V
3		funfvex 5710	. . . . . . 7 |- ( ( Fun ball /\ d e. dom ball ) -> ( ball ` d ) e. _V )
4	3	funfni 5481	. . . . . 6 |- ( ( ball Fn _V /\ d e. _V ) -> ( ball ` d ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ball ` d ) e. _V
6	5	rnex 5048	. . . 4 |- ran ( ball ` d ) e. _V
7		tgvalex 13600	. . . 4 |- ( ran ( ball ` d ) e. _V -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
9	8	ax-gen 1502	. 2 |- A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
10		df-mopn 14867	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
11	10	mptfvex 5788	. 2 |- ( ( A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V /\ D e. V ) -> ( MetOpen ` D ) e. _V )
12	9, 11	mpan 428	1 |- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1400   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   U.cuni 3933   ran crn 4773   Fn wfn 5370   ` cfv 5375   topGenctg 13591   *Metcxmet 14856   ballcbl 14858   MetOpencmopn 14861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-topgen 13597  df-bl 14866  df-mopn 14867

This theorem is referenced by:  cntopex  14874