Theorem mopnset 14999

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	|- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14998	. . . . . 6 |- ball Fn _V
2		vex 2824	. . . . . 6 |- d e. _V
3		funfvex 5715	. . . . . . 7 |- ( ( Fun ball /\ d e. dom ball ) -> ( ball ` d ) e. _V )
4	3	funfni 5486	. . . . . 6 |- ( ( ball Fn _V /\ d e. _V ) -> ( ball ` d ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ball ` d ) e. _V
6	5	rnex 5052	. . . 4 |- ran ( ball ` d ) e. _V
7		tgvalex 13677	. . . 4 |- ( ran ( ball ` d ) e. _V -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
9	8	ax-gen 1502	. 2 |- A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V
10		df-mopn 14994	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
11	10	mptfvex 5794	. 2 |- ( ( A. d ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) e. _V /\ D e. V ) -> ( MetOpen ` D ) e. _V )
12	9, 11	mpan 428	1 |- ( D e. V -> ( MetOpen ` D ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   A.wal 1400   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   U.cuni 3935   ran crn 4777   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   topGenctg 13668   *Metcxmet 14983   ballcbl 14985   MetOpencmopn 14988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-topgen 13674  df-bl 14993  df-mopn 14994

This theorem is used by:  cntopex  15001