Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caoftrn Unicode version

Theorem caoftrn 6018
 Description: Transfer a transitivity law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caoftrn.5
Assertion
Ref Expression
caoftrn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem caoftrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caoftrn.5 . . . . . 6
21ralrimivvva 2519 . . . . 5
32adantr 274 . . . 4
4 caofref.2 . . . . . 6
54ffvelrnda 5566 . . . . 5
6 caofcom.3 . . . . . 6
76ffvelrnda 5566 . . . . 5
8 caofass.4 . . . . . 6
98ffvelrnda 5566 . . . . 5
10 breq1 3941 . . . . . . . 8
1110anbi1d 461 . . . . . . 7
12 breq1 3941 . . . . . . 7
1311, 12imbi12d 233 . . . . . 6
14 breq2 3942 . . . . . . . 8
15 breq1 3941 . . . . . . . 8
1614, 15anbi12d 465 . . . . . . 7
1716imbi1d 230 . . . . . 6
18 breq2 3942 . . . . . . . 8
1918anbi2d 460 . . . . . . 7
20 breq2 3942 . . . . . . 7
2119, 20imbi12d 233 . . . . . 6
2213, 17, 21rspc3v 2810 . . . . 5
235, 7, 9, 22syl3anc 1217 . . . 4
243, 23mpd 13 . . 3
2524ralimdva 2503 . 2
26 ffn 5283 . . . . . 6
274, 26syl 14 . . . . 5
28 ffn 5283 . . . . . 6
296, 28syl 14 . . . . 5
30 caofref.1 . . . . 5
31 inidm 3291 . . . . 5
32 eqidd 2141 . . . . 5
33 eqidd 2141 . . . . 5
3427, 29, 30, 30, 31, 32, 33ofrfval 6001 . . . 4
35 ffn 5283 . . . . . 6
368, 35syl 14 . . . . 5
37 eqidd 2141 . . . . 5
3829, 36, 30, 30, 31, 33, 37ofrfval 6001 . . . 4
3934, 38anbi12d 465 . . 3
40 r19.26 2562 . . 3
4139, 40bitr4di 197 . 2
4227, 36, 30, 30, 31, 32, 37ofrfval 6001 . 2
4325, 41, 423imtr4d 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417   class class class wbr 3938   wfn 5129  wf 5130  cfv 5134   cofr 5992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-ofr 5994 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator