Theorem casedm 6833

Description: The domain of the "case" construction is the disjoint union of the domains. TODO (although less important): |- ran case ( F , G ) = ( ran F u. ran G ). (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
casedm	|- dom case ( F , G ) = ( dom F ⊔ dom G )

Proof of Theorem casedm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-case 6831	. . 3 |- case ( F , G ) = ( ( F o. `'inl ) u. ( G o. `'inr ) )
2	1	dmeqi 4652	. 2 |- dom case ( F , G ) = dom ( ( F o. `'inl ) u. ( G o. `'inr ) )
3		dmun 4658	. 2 |- dom ( ( F o. `'inl ) u. ( G o. `'inr ) ) = ( dom ( F o. `'inl ) u. dom ( G o. `'inr ) )
4		dmco 4954	. . . . 5 |- dom ( F o. `'inl ) = ( `' `'inl " dom F )
5		imacnvcnv 4910	. . . . 5 |- ( `' `'inl " dom F ) = (inl " dom F )
6		df-ima 4467	. . . . 5 |- (inl " dom F ) = ran (inl |` dom F )
7	4, 5, 6	3eqtri 2113	. . . 4 |- dom ( F o. `'inl ) = ran (inl |` dom F )
8		dmco 4954	. . . . 5 |- dom ( G o. `'inr ) = ( `' `'inr " dom G )
9		imacnvcnv 4910	. . . . 5 |- ( `' `'inr " dom G ) = (inr " dom G )
10		df-ima 4467	. . . . 5 |- (inr " dom G ) = ran (inr |` dom G )
11	8, 9, 10	3eqtri 2113	. . . 4 |- dom ( G o. `'inr ) = ran (inr |` dom G )
12	7, 11	uneq12i 3155	. . 3 |- ( dom ( F o. `'inl ) u. dom ( G o. `'inr ) ) = ( ran (inl |` dom F ) u. ran (inr |` dom G ) )
13		djuunr 6814	. . 3 |- ( ran (inl |` dom F ) u. ran (inr |` dom G ) ) = ( dom F ⊔ dom G )
14	12, 13	eqtri 2109	. 2 |- ( dom ( F o. `'inl ) u. dom ( G o. `'inr ) ) = ( dom F ⊔ dom G )
15	2, 3, 14	3eqtri 2113	1 |- dom case ( F , G ) = ( dom F ⊔ dom G )

Syntax hints:   = wceq 1290   u. cun 3000   `'ccnv 4453   dom cdm 4454   ran crn 4455   |` cres 4456   "cima 4457   o. ccom 4458   ⊔ cdju 6786  inlcinl 6793  inrcinr 6794  casecdjucase 6830

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-1o 6197  df-dju 6787  df-inl 6795  df-inr 6796  df-case 6831

This theorem is referenced by:  casef  6835