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Theorem climshftlemg 10744
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
climshftlemg  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshftlemg
Dummy variables  k  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 8844 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 265 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
32adantlr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
4 eluzsub 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
543com12 1148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
653expa 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
7 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
87eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
97oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
109fveq2d 5322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
1110breq1d 3861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
128, 11anbi12d 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
1312rspcv 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  M )  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
( F `  (
n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
146, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
1514adantllr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
16 simplr 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  F  e.  V
)
17 zcn 8809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
1817ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  M  e.  CC )
19 eluzelcn 9084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  CC )
2019adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
21 shftvalg 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( F  shift  M ) `
 n )  =  ( F `  (
n  -  M ) ) )
2221eleq1d 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
2321oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A )  =  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )
2423fveq2d 5322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) ) )
2524breq1d 3861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
2622, 25anbi12d 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2716, 18, 20, 26syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2827adantlr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2915, 28sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x ) ) )
3029ralrimdva 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
31 fveq2 5318 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )
3231raleqdv 2569 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
)  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
3332rspcev 2723 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  M
)  e.  ZZ  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) )
343, 30, 33syl6an 1369 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3534rexlimdva 2490 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3635ralimdv 2443 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736anim2d 331 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
38 simpr 109 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
39 eqidd 2090 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
4038, 39clim 10723 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
41 ovshftex 10307 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4241ancoms 265 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4317, 42sylan 278 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
44 eqidd 2090 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
shift  M ) `  n
)  =  ( ( F  shift  M ) `  n ) )
4543, 44clim 10723 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
4637, 40, 453imtr4d 202 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   _Vcvv 2620   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402    + caddc 7407    < clt 7576    - cmin 7707   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073   RR+crp 9188    shift cshi 10302   abscabs 10484    ~~> cli 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-shft 10303  df-clim 10721
This theorem is referenced by:  climshft  10746
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