Theorem climshftlemg 11728

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3	2	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
4		eluzsub 9713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3com12 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	3expa 1206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
7		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
8	7	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
9	7	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
10	9	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
11	10	breq1d 4069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	12	rspcv 2880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
15	14	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
16		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> F e. V )
17		zcn 9412	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> M e. CC )
19		eluzelcn 9694	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> n e. CC )
21		shftvalg 11262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
22	21	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
23	21	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
24	23	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
25	24	breq1d 4069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
26	22, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
28	27	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
29	15, 28	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	ralrimdva 2588	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
31		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
32	31	raleqdv 2711	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	rspcev 2884	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
34	3, 30, 33	syl6an 1454	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
35	34	rexlimdva 2625	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
36	35	ralimdv 2576	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
37	36	anim2d 337	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
39		eqidd 2208	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
40	38, 39	clim 11707	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
41		ovshftex 11245	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ M e. CC ) -> ( F shift M ) e. _V )
42	41	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
43	17, 42	sylan 283	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
44		eqidd 2208	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
45	43, 44	clim 11707	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
46	37, 40, 45	3imtr4d 203	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   < clt 8142   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   RR+crp 9810   shift cshi 11240   abscabs 11423   ~~> cli 11704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-shft 11241  df-clim 11705

This theorem is referenced by:  climshft  11730