Theorem climshftlemg 11813

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9486	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3	2	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
4		eluzsub 9752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3com12 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	3expa 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
7		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
9	7	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
10	9	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
11	10	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	12	rspcv 2903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
15	14	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
16		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> F e. V )
17		zcn 9451	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> M e. CC )
19		eluzelcn 9733	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> n e. CC )
21		shftvalg 11347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
22	21	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
23	21	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
24	23	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
25	24	breq1d 4093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
26	22, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
28	27	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
29	15, 28	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	ralrimdva 2610	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
31		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
32	31	raleqdv 2734	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	rspcev 2907	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
34	3, 30, 33	syl6an 1476	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
35	34	rexlimdva 2648	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
36	35	ralimdv 2598	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
37	36	anim2d 337	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
39		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
40	38, 39	clim 11792	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
41		ovshftex 11330	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ M e. CC ) -> ( F shift M ) e. _V )
42	41	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
43	17, 42	sylan 283	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
44		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
45	43, 44	clim 11792	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
46	37, 40, 45	3imtr4d 203	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   < clt 8181   - cmin 8317   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   shift cshi 11325   abscabs 11508   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-shft 11326  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  climshft  11815