Theorem climshftlemg 11467

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9366	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3	2	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
4		eluzsub 9631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3com12 1209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	3expa 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
7		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
8	7	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
9	7	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
10	9	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
11	10	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	12	rspcv 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
15	14	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
16		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> F e. V )
17		zcn 9331	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> M e. CC )
19		eluzelcn 9612	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> n e. CC )
21		shftvalg 11001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
22	21	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
23	21	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
24	23	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
25	24	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
26	22, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
28	27	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
29	15, 28	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	ralrimdva 2577	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
31		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
32	31	raleqdv 2699	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	rspcev 2868	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
34	3, 30, 33	syl6an 1445	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
35	34	rexlimdva 2614	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
36	35	ralimdv 2565	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
37	36	anim2d 337	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
39		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
40	38, 39	clim 11446	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
41		ovshftex 10984	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ M e. CC ) -> ( F shift M ) e. _V )
42	41	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
43	17, 42	sylan 283	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
44		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
45	43, 44	clim 11446	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
46	37, 40, 45	3imtr4d 203	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   + caddc 7882   < clt 8061   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   shift cshi 10979   abscabs 11162   ~~> cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-shft 10980  df-clim 11444

This theorem is referenced by:  climshft  11469