Theorem climshftlemg 11071

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9094	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3	2	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
4		eluzsub 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3com12 1185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	3expa 1181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
7		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
8	7	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
9	7	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
10	9	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
11	10	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
12	8, 11	anbi12d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	12	rspcv 2785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
15	14	adantllr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
16		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> F e. V )
17		zcn 9059	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
18	17	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> M e. CC )
19		eluzelcn 9337	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> n e. CC )
21		shftvalg 10608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
22	21	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
23	21	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
24	23	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
25	24	breq1d 3939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
26	22, 25	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
28	27	adantlr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
29	15, 28	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	ralrimdva 2512	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
31		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
32	31	raleqdv 2632	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	rspcev 2789	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
34	3, 30, 33	syl6an 1410	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
35	34	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
36	35	ralimdv 2500	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
37	36	anim2d 335	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		simpr 109	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
39		eqidd 2140	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
40	38, 39	clim 11050	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
41		ovshftex 10591	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ M e. CC ) -> ( F shift M ) e. _V )
42	41	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
43	17, 42	sylan 281	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
44		eqidd 2140	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
45	43, 44	clim 11050	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
46	37, 40, 45	3imtr4d 202	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   < clt 7800   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   shift cshi 10586   abscabs 10769   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-shft 10587  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climshft  11073