Theorem eluzelz 9537

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9534	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp2bi 1013	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   <_ cle 7993   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  eluzelre  9538  uztrn  9544  uzneg  9546  uzssz  9547  uzss  9548  eluzp1l  9552  eluzaddi  9554  eluzsubi  9555  eluzadd  9556  eluzsub  9557  uzm1  9558  uzin  9560  uzind4  9588  uz2mulcl  9608  elfz5  10017  elfzel2  10023  elfzelz  10025  eluzfz2  10032  peano2fzr  10037  fzsplit2  10050  fzopth  10061  fzsuc  10069  elfzp1  10072  fzdifsuc  10081  uzsplit  10092  uzdisj  10093  fzm1  10100  fzneuz  10101  uznfz  10103  nn0disj  10138  elfzo3  10163  fzoss2  10172  fzouzsplit  10179  eluzgtdifelfzo  10197  fzosplitsnm1  10209  fzofzp1b  10228  elfzonelfzo  10230  fzosplitsn  10233  fzisfzounsn  10236  mulp1mod1  10365  m1modge3gt1  10371  frec2uzltd  10403  frecfzen2  10427  uzennn  10436  uzsinds  10442  seq3fveq2  10469  seq3feq2  10470  seq3shft2  10473  monoord  10476  monoord2  10477  ser3mono  10478  seq3split  10479  iseqf1olemjpcl  10495  iseqf1olemqpcl  10496  seq3f1olemqsumk  10499  seq3f1olemp  10502  seq3f1oleml  10503  seq3f1o  10504  seq3id  10508  seq3z  10511  fser0const  10516  leexp2a  10573  expnlbnd2  10646  hashfz  10801  hashfzo  10802  hashfzp1  10804  seq3coll  10822  seq3shft  10847  rexuz3  10999  r19.2uz  11002  cau4  11125  caubnd2  11126  clim  11289  climshft2  11314  climaddc1  11337  climmulc2  11339  climsubc1  11340  climsubc2  11341  clim2ser  11345  clim2ser2  11346  iserex  11347  climlec2  11349  climub  11352  climcau  11355  climcaucn  11359  serf0  11360  sumrbdclem  11385  fsum3cvg  11386  summodclem2a  11389  zsumdc  11392  fsum3  11395  fisumss  11400  fsum3cvg2  11402  fsum3ser  11405  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  fsumm1  11424  fzosump1  11425  fsum1p  11426  fsump1  11428  fsummulc2  11456  telfsumo  11474  fsumparts  11478  iserabs  11483  binomlem  11491  isumshft  11498  isumsplit  11499  isumrpcl  11502  divcnv  11505  trireciplem  11508  geosergap  11514  geolim2  11520  cvgratnnlemseq  11534  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgratnnlemrate  11538  cvgratz  11540  cvgratgt0  11541  mertenslemi1  11543  clim2divap  11548  prodrbdclem  11579  fproddccvg  11580  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  zproddc  11587  fprodntrivap  11592  fprodssdc  11598  fprodm1  11606  fprod1p  11607  fprodp1  11608  fprodabs  11624  fprodeq0  11625  efgt1p2  11703  modm1div  11807  zsupcllemstep  11946  infssuzex  11950  suprzubdc  11953  dvdsbnd  11957  uzwodc  12038  ncoprmgcdne1b  12089  isprm3  12118  prmind2  12120  nprm  12123  dvdsprm  12137  exprmfct  12138  isprm5lem  12141  isprm5  12142  phibndlem  12216  phibnd  12217  dfphi2  12220  hashdvds  12221  pclemdc  12288  pcaddlem  12338  pcmptdvds  12343  pcfac  12348  expnprm  12351  relogbval  14372  relogbzcl  14373  nnlogbexp  14380  logblt  14383  logbgcd1irr  14388  lgsne0  14442  2sqlem6  14470  2sqlem8a  14472  2sqlem8  14473  supfz  14821