Theorem eluzelz 9931

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9927	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp2bi 1044	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  eluzelre  9932  uztrn  9939  uzneg  9941  uzssz  9942  uzss  9943  eluzp1l  9947  eluzaddi  9949  eluzsubi  9950  eluzadd  9951  eluzsub  9952  uzm1  9953  uzin  9955  uzind4  9988  uz2mulcl  10008  elfz5  10420  elfzel2  10426  elfzelz  10428  eluzfz2  10436  peano2fzr  10441  fzsplit2  10455  fzopth  10467  fzsuc  10475  fzspl  10476  elfzp1  10479  fzdifsuc  10488  uzsplit  10499  uzdisj  10500  fzm1  10507  fzneuz  10508  uznfz  10510  nn0disj  10545  elfzo3  10571  fzoss2  10581  fzouzsplit  10588  fzoun  10590  eluzgtdifelfzo  10615  fzosplitsnm1  10627  fzofzp1b  10646  elfzonelfzo  10648  fzosplitsn  10651  fzisfzounsn  10655  zsupcllemstep  10662  infssuzex  10666  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  suprzubdc  10671  fldiv4lem1div2uz2  10741  mulp1mod1  10802  m1modge3gt1  10808  frec2uzltd  10840  frecfzen2  10864  uzennn  10873  uzsinds  10881  seq3fveq2  10912  seq3feq2  10913  seqfveq2g  10914  seq3shft2  10918  seqshft2g  10919  monoord  10922  monoord2  10923  ser3mono  10924  seq3split  10925  seqsplitg  10926  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemp  10952  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  seqf1og  10958  seq3id  10962  seq3z  10965  fser0const  10972  leexp2a  11029  expnlbnd2  11103  hashfz  11262  hashfzo  11263  hashfzp1  11265  seq3coll  11294  swrdfv2  11435  pfxccatin12  11505  seq3shft  11603  rexuz3  11756  r19.2uz  11759  cau4  11882  caubnd2  11883  clim  12047  climshft2  12072  climaddc1  12095  climmulc2  12097  climsubc1  12098  climsubc2  12099  clim2ser  12103  clim2ser2  12104  iserex  12105  climlec2  12107  climub  12110  climcau  12113  climcaucn  12117  serf0  12118  sumrbdclem  12144  fsum3cvg  12145  summodclem2a  12148  zsumdc  12151  fsum3  12154  fisumss  12159  fsum3cvg2  12161  fsum3ser  12164  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  fsumm1  12183  fzosump1  12184  fsum1p  12185  fsump1  12187  fsummulc2  12215  telfsumo  12233  fsumparts  12237  iserabs  12242  binomlem  12250  isumshft  12257  isumsplit  12258  isumrpcl  12261  divcnv  12264  trireciplem  12267  geosergap  12273  geolim2  12279  cvgratnnlemseq  12293  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratnnlemrate  12297  cvgratz  12299  cvgratgt0  12300  mertenslemi1  12302  clim2divap  12307  prodrbdclem  12338  fproddccvg  12339  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  zproddc  12346  fprodntrivap  12351  fprodssdc  12357  fprodm1  12365  fprod1p  12366  fprodp1  12367  fprodabs  12383  fprodeq0  12384  efgt1p2  12462  modm1div  12567  dvdsbnd  12733  uzwodc  12814  ncoprmgcdne1b  12867  isprm3  12896  prmind2  12898  nprm  12901  dvdsprm  12915  exprmfct  12916  isprm5lem  12919  isprm5  12920  phibndlem  12994  phibnd  12995  dfphi2  12998  hashdvds  12999  pclemdc  13067  pcaddlem  13118  pcmptdvds  13124  pcfac  13129  expnprm  13132  fngzsum  13708  gzsumvalx  13709  gzsumval2  13714  gzsumsplit1r  13715  gzsumshift  14149  plycoeid3  15858  logfac  15995  relogbval  16053  relogbzcl  16054  nnlogbexp  16061  logblt  16064  logbgcd1irr  16069  lgsne0  16157  gausslemma2dlem4  16183  lgsquad2lem2  16201  2sqlem6  16239  2sqlem8a  16241  2sqlem8  16242  supfz  17121