Theorem eluzelz 9604

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9601	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp2bi 1015	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  eluzelre  9605  uztrn  9612  uzneg  9614  uzssz  9615  uzss  9616  eluzp1l  9620  eluzaddi  9622  eluzsubi  9623  eluzadd  9624  eluzsub  9625  uzm1  9626  uzin  9628  uzind4  9656  uz2mulcl  9676  elfz5  10086  elfzel2  10092  elfzelz  10094  eluzfz2  10101  peano2fzr  10106  fzsplit2  10119  fzopth  10130  fzsuc  10138  elfzp1  10141  fzdifsuc  10150  uzsplit  10161  uzdisj  10162  fzm1  10169  fzneuz  10170  uznfz  10172  nn0disj  10207  elfzo3  10233  fzoss2  10242  fzouzsplit  10249  eluzgtdifelfzo  10267  fzosplitsnm1  10279  fzofzp1b  10298  elfzonelfzo  10300  fzosplitsn  10303  fzisfzounsn  10306  fldiv4lem1div2uz2  10378  mulp1mod1  10439  m1modge3gt1  10445  frec2uzltd  10477  frecfzen2  10501  uzennn  10510  uzsinds  10518  seq3fveq2  10549  seq3feq2  10550  seqfveq2g  10551  seq3shft2  10555  seqshft2g  10556  monoord  10559  monoord2  10560  ser3mono  10561  seq3split  10562  seqsplitg  10563  iseqf1olemjpcl  10582  iseqf1olemqpcl  10583  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemp  10589  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  seqf1og  10595  seq3id  10599  seq3z  10602  fser0const  10609  leexp2a  10666  expnlbnd2  10739  hashfz  10895  hashfzo  10896  hashfzp1  10898  seq3coll  10916  seq3shft  10985  rexuz3  11137  r19.2uz  11140  cau4  11263  caubnd2  11264  clim  11427  climshft2  11452  climaddc1  11475  climmulc2  11477  climsubc1  11478  climsubc2  11479  clim2ser  11483  clim2ser2  11484  iserex  11485  climlec2  11487  climub  11490  climcau  11493  climcaucn  11497  serf0  11498  sumrbdclem  11523  fsum3cvg  11524  summodclem2a  11527  zsumdc  11530  fsum3  11533  fisumss  11538  fsum3cvg2  11540  fsum3ser  11543  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  fsumm1  11562  fzosump1  11563  fsum1p  11564  fsump1  11566  fsummulc2  11594  telfsumo  11612  fsumparts  11616  iserabs  11621  binomlem  11629  isumshft  11636  isumsplit  11637  isumrpcl  11640  divcnv  11643  trireciplem  11646  geosergap  11652  geolim2  11658  cvgratnnlemseq  11672  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratnnlemrate  11676  cvgratz  11678  cvgratgt0  11679  mertenslemi1  11681  clim2divap  11686  prodrbdclem  11717  fproddccvg  11718  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  zproddc  11725  fprodntrivap  11730  fprodssdc  11736  fprodm1  11744  fprod1p  11745  fprodp1  11746  fprodabs  11762  fprodeq0  11763  efgt1p2  11841  modm1div  11946  zsupcllemstep  12085  infssuzex  12089  suprzubdc  12092  dvdsbnd  12096  uzwodc  12177  ncoprmgcdne1b  12230  isprm3  12259  prmind2  12261  nprm  12264  dvdsprm  12278  exprmfct  12279  isprm5lem  12282  isprm5  12283  phibndlem  12357  phibnd  12358  dfphi2  12361  hashdvds  12362  pclemdc  12429  pcaddlem  12480  pcmptdvds  12486  pcfac  12491  expnprm  12494  fngsum  12974  igsumvalx  12975  gsumval2  12983  gsumsplit1r  12984  gsumfzz  13070  relogbval  15124  relogbzcl  15125  nnlogbexp  15132  logblt  15135  logbgcd1irr  15140  lgsne0  15195  gausslemma2dlem4  15221  lgsquad2lem2  15239  2sqlem6  15277  2sqlem8a  15279  2sqlem8  15280  supfz  15631