Theorem dedekindeulemloc 12944

Description: Lemma for dedekindeu 12948. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dedekindeulemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑦))
2		eleq1w 2215	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
3	2	orbi2d 780	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
4	1, 3	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
5		breq1 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
6		eleq1w 2215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
7	6	orbi1d 781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
8	5, 7	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
9	8	ralbidv 2454	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
10		dedekindeu.loc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11	10	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
12		simprl 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14		simprr 522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	4, 13, 14	rspcdva 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
16		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ 𝐿)
17	5	rexbidv 2455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
18	6, 17	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)))
19		dedekindeu.lr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	19	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	12	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	rspcdva 2818	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
23	16, 22	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)
24		breq2 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑧))
25	24	cbvrexv 2678	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
26	23, 25	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
27	26	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧))
28		dedekindeu.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
29	28	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝐿 ⊆ ℝ)
30		dedekindeu.uss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
31	30	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32		dedekindeu.lm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
33	32	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
34		dedekindeu.um	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
35	34	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
36	19	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
37		dedekindeu.ur	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
38	37	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
39		dedekindeu.disj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
40	39	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
41	10	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
42		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
43	29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42	dedekindeulemuub 12942	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)
44	43	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦))
45	27, 44	orim12d 776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈) → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
46	15, 45	syld 45	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
47	46	ralrimivva 2536	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  ∃wrex 2433   ∩ cin 3097   ⊆ wss 3098  ∅c0 3390   class class class wbr 3961  ℝcr 7710   < clt 7891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-pre-ltwlin 7824

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-cnv 4587  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  12945