Theorem dedekindeulemloc 15342

Description: Lemma for dedekindeu 15346. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dedekindeulemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑦))
2		eleq1w 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
3	2	orbi2d 797	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
5		breq1 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
6		eleq1w 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
7	6	orbi1d 798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
8	5, 7	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
9	8	ralbidv 2532	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
10		dedekindeu.loc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
12		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	4, 13, 14	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ 𝐿)
17	5	rexbidv 2533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
18	6, 17	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)))
19		dedekindeu.lr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	rspcdva 2915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
23	16, 22	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)
24		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑧))
25	24	cbvrexv 2768	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
26	23, 25	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧))
28		dedekindeu.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝐿 ⊆ ℝ)
30		dedekindeu.uss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
31	30	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32		dedekindeu.lm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
34		dedekindeu.um	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
36	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
37		dedekindeu.ur	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
38	37	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
39		dedekindeu.disj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
41	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
42		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
43	29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42	dedekindeulemuub 15340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)
44	43	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦))
45	27, 44	orim12d 793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈) → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
46	15, 45	syld 45	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
47	46	ralrimivva 2614	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltwlin 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15343