ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemloc GIF version

Theorem dedekindeulemloc 13730
Description: Lemma for dedekindeu 13734. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemloc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dedekindeulemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 4004 . . . . 5 (𝑟 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟𝑥 < 𝑦))
2 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑦 → (𝑟𝑈𝑦𝑈))
32orbi2d 790 . . . . 5 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝑥𝐿𝑦𝑈)))
41, 3imbi12d 234 . . . 4 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈))))
5 breq1 4003 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 < 𝑟𝑥 < 𝑟))
6 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑥 → (𝑞𝐿𝑥𝐿))
76orbi1d 791 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝑥𝐿𝑟𝑈)))
85, 7imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈))))
98ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑞 = 𝑥 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈))))
10 dedekindeu.loc . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
1110adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
12 simprl 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
139, 11, 12rspcdva 2846 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈)))
14 simprr 531 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
154, 13, 14rspcdva 2846 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))
16 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥𝐿)
175rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑥 → (∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟))
186, 17bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟)))
19 dedekindeu.lr . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
2112adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥 ∈ ℝ)
2218, 20, 21rspcdva 2846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟))
2316, 22mpbid 147 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟)
24 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑟𝑥 < 𝑧))
2524cbvrexv 2704 . . . . . 6 (∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟 ↔ ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧)
2623, 25sylib 122 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐿) → ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧)
2726ex 115 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝐿 → ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧))
28 dedekindeu.lss . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
2928ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝐿 ⊆ ℝ)
30 dedekindeu.uss . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
3130ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32 dedekindeu.lm . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
3332ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
34 dedekindeu.um . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
3534ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
3619ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
37 dedekindeu.ur . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
3837ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
39 dedekindeu.disj . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
4039ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐿𝑈) = ∅)
4110ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
42 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
4329, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42dedekindeulemuub 13728 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)
4443ex 115 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑈 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦))
4527, 44orim12d 786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐿𝑦𝑈) → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
4615, 45syld 45 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
4746ralrimivva 2559 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3128  wss 3129  c0 3422   class class class wbr 4000  cr 7788   < clt 7969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltwlin 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  13731
  Copyright terms: Public domain W3C validator