Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemuub Unicode version

Theorem dedekindeulemuub 12753
 Description: Lemma for dedekindeu 12759. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss
dedekindeu.uss
dedekindeu.lm
dedekindeu.um
dedekindeu.lr
dedekindeu.ur
dedekindeu.disj
dedekindeu.loc
dedekindeulemuub.u
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemuub
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dedekindeulemuub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeulemuub.u . . 3
2 eleq1 2200 . . . . 5
3 breq2 3928 . . . . . 6
43rexbidv 2436 . . . . 5
52, 4bibi12d 234 . . . 4
6 dedekindeu.ur . . . 4
7 dedekindeu.uss . . . . 5
87, 1sseldd 3093 . . . 4
95, 6, 8rspcdva 2789 . . 3
101, 9mpbid 146 . 2
11 dedekindeu.lss . . . . . 6
1211ad2antrr 479 . . . . 5
13 simpr 109 . . . . 5
1412, 13sseldd 3093 . . . 4
157ad2antrr 479 . . . . 5
16 simplrl 524 . . . . 5
1715, 16sseldd 3093 . . . 4
188ad2antrr 479 . . . 4
19 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
2019rspcev 2784 . . . . . . . . 9
2116, 20sylan 281 . . . . . . . 8
2219cbvrexv 2653 . . . . . . . 8
2321, 22sylib 121 . . . . . . 7
24 eleq1 2200 . . . . . . . . 9
25 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
2625rexbidv 2436 . . . . . . . . 9
2724, 26bibi12d 234 . . . . . . . 8
286ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
2914adantr 274 . . . . . . . 8
3027, 28, 29rspcdva 2789 . . . . . . 7
3123, 30mpbird 166 . . . . . 6
32 simplll 522 . . . . . . 7
3313adantr 274 . . . . . . 7
34 dedekindeu.disj . . . . . . . . 9
35 disj 3406 . . . . . . . . 9
3634, 35sylib 121 . . . . . . . 8
3736r19.21bi 2518 . . . . . . 7
3832, 33, 37syl2anc 408 . . . . . 6
3931, 38pm2.65da 650 . . . . 5
4014, 17, 39nltled 7876 . . . 4
41 simplrr 525 . . . 4
4214, 17, 18, 40, 41lelttrd 7880 . . 3
4342ralrimiva 2503 . 2
4410, 43rexlimddv 2552 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415   cin 3065   wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924  cr 7612   clt 7793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltwlin 7726 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799 This theorem is referenced by:  dedekindeulemub  12754  dedekindeulemloc  12755
 Copyright terms: Public domain W3C validator