Theorem dffun4f 5244

Description: Definition of function like dffun4 5239 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun4f.1	|- F/_ x A
dffun4f.2	|- F/_ y A
dffun4f.3	|- F/_ z A

Assertion

Ref	Expression
dffun4f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4f.1	. . 3 |- F/_ x A
2		dffun4f.2	. . 3 |- F/_ y A
3	1, 2	dffun6f 5241	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )
4		nfcv 2329	. . . . . . 7 |- F/_ y x
5		nfcv 2329	. . . . . . 7 |- F/_ y w
6	4, 2, 5	nfbr 4061	. . . . . 6 |- F/ y x A w
7		breq2 4019	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
8	6, 7	mo4f 2096	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
9		nfv 1538	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z )
10		nfcv 2329	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
11		dffun4f.3	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z A
12		nfcv 2329	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z y
13	10, 11, 12	nfbr 4061	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A y
14		nfcv 2329	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z w
15	10, 11, 14	nfbr 4061	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A w
16	13, 15	nfan 1575	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x A y /\ x A w )
17		nfv 1538	. . . . . . . 8 |- F/ z y = w
18	16, 17	nfim 1582	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w )
19		breq2 4019	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x A z <-> x A w ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A w ) ) )
21		equequ2 1723	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( y = z <-> y = w ) )
22	20, 21	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) ) )
23	9, 18, 22	cbval 1764	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
24	23	albii 1480	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
25	8, 24	bitr4i 187	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
26	25	albii 1480	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
27	26	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
28		df-br 4016	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
29		df-br 4016	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
30	28, 29	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
31	30	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
32	31	2albii 1481	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
33	32	albii 1480	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
34	33	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
35	3, 27, 34	3bitri 206	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1361   E*wmo 2037   e. wcel 2158   F/_wnfc 2316   <.cop 3607   class class class wbr 4015   Rel wrel 4643   Fun wfun 5222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-cnv 4646  df-co 4647  df-fun 5230

This theorem is referenced by: (None)