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Theorem dffun4f 5097
Description: Definition of function like dffun4 5092 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dffun4f.1  |-  F/_ x A
dffun4f.2  |-  F/_ y A
dffun4f.3  |-  F/_ z A
Assertion
Ref Expression
dffun4f  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun4f.1 . . 3  |-  F/_ x A
2 dffun4f.2 . . 3  |-  F/_ y A
31, 2dffun6f 5094 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y ) )
4 nfcv 2255 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
5 nfcv 2255 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
64, 2, 5nfbr 3939 . . . . . 6  |-  F/ y  x A w
7 breq2 3899 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
86, 7mo4f 2035 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
9 nfv 1491 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )
10 nfcv 2255 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
x
11 dffun4f.3 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z A
12 nfcv 2255 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
y
1310, 11, 12nfbr 3939 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A y
14 nfcv 2255 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
w
1510, 11, 14nfbr 3939 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A w
1613, 15nfan 1527 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( x A y  /\  x A w )
17 nfv 1491 . . . . . . . 8  |-  F/ z  y  =  w
1816, 17nfim 1534 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w )
19 breq2 3899 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x A z  <->  x A w ) )
2019anbi2d 457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x A y  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A w ) ) )
21 equequ2 1672 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
y  =  z  <->  y  =  w ) )
2220, 21imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) ) )
239, 18, 22cbval 1710 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w ( ( x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) )
2423albii 1429 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
258, 24bitr4i 186 . . . 4  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2625albii 1429 . . 3  |-  ( A. x E* y  x A y  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
2726anbi2i 450 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
28 df-br 3896 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
29 df-br 3896 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
3028, 29anbi12i 453 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
3130imbi1i 237 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
32312albii 1430 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3332albii 1429 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3433anbi2i 450 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
353, 27, 343bitri 205 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312    e. wcel 1463   E*wmo 1976   F/_wnfc 2242   <.cop 3496   class class class wbr 3895   Rel wrel 4504   Fun wfun 5075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-cnv 4507  df-co 4508  df-fun 5083
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