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Theorem dffun4f 5018
Description: Definition of function like dffun4 5013 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dffun4f.1  |-  F/_ x A
dffun4f.2  |-  F/_ y A
dffun4f.3  |-  F/_ z A
Assertion
Ref Expression
dffun4f  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun4f.1 . . 3  |-  F/_ x A
2 dffun4f.2 . . 3  |-  F/_ y A
31, 2dffun6f 5015 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y ) )
4 nfcv 2228 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
5 nfcv 2228 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
64, 2, 5nfbr 3881 . . . . . 6  |-  F/ y  x A w
7 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
86, 7mo4f 2008 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
9 nfv 1466 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )
10 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
x
11 dffun4f.3 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z A
12 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
y
1310, 11, 12nfbr 3881 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A y
14 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
w
1510, 11, 14nfbr 3881 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A w
1613, 15nfan 1502 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( x A y  /\  x A w )
17 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ z  y  =  w
1816, 17nfim 1509 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w )
19 breq2 3841 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x A z  <->  x A w ) )
2019anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x A y  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A w ) ) )
21 equequ2 1646 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
y  =  z  <->  y  =  w ) )
2220, 21imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) ) )
239, 18, 22cbval 1684 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w ( ( x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) )
2423albii 1404 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
258, 24bitr4i 185 . . . 4  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2625albii 1404 . . 3  |-  ( A. x E* y  x A y  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
2726anbi2i 445 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
28 df-br 3838 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
29 df-br 3838 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
3028, 29anbi12i 448 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
3130imbi1i 236 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
32312albii 1405 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3332albii 1404 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3433anbi2i 445 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
353, 27, 343bitri 204 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    e. wcel 1438   E*wmo 1949   F/_wnfc 2215   <.cop 3444   class class class wbr 3837   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-cnv 4436  df-co 4437  df-fun 5004
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