Theorem dffun4f 5228

Description: Definition of function like dffun4 5223 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun4f.1	|- F/_ x A
dffun4f.2	|- F/_ y A
dffun4f.3	|- F/_ z A

Assertion

Ref	Expression
dffun4f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4f.1	. . 3 |- F/_ x A
2		dffun4f.2	. . 3 |- F/_ y A
3	1, 2	dffun6f 5225	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )
4		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ y x
5		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ y w
6	4, 2, 5	nfbr 4046	. . . . . 6 |- F/ y x A w
7		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
8	6, 7	mo4f 2086	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
9		nfv 1528	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z )
10		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
11		dffun4f.3	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z A
12		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z y
13	10, 11, 12	nfbr 4046	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A y
14		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z w
15	10, 11, 14	nfbr 4046	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A w
16	13, 15	nfan 1565	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x A y /\ x A w )
17		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ z y = w
18	16, 17	nfim 1572	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w )
19		breq2 4004	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x A z <-> x A w ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A w ) ) )
21		equequ2 1713	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( y = z <-> y = w ) )
22	20, 21	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) ) )
23	9, 18, 22	cbval 1754	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
24	23	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
25	8, 24	bitr4i 187	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
26	25	albii 1470	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
27	26	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
28		df-br 4001	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
29		df-br 4001	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
30	28, 29	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
31	30	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
32	31	2albii 1471	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
33	32	albii 1470	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
34	33	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
35	3, 27, 34	3bitri 206	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   E*wmo 2027   e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   <.cop 3594   class class class wbr 4000   Rel wrel 4628   Fun wfun 5206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-cnv 4631  df-co 4632  df-fun 5214

This theorem is referenced by: (None)