Theorem dffun4f 5189

Description: Definition of function like dffun4 5184 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun4f.1	|- F/_ x A
dffun4f.2	|- F/_ y A
dffun4f.3	|- F/_ z A

Assertion

Ref	Expression
dffun4f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4f.1	. . 3 |- F/_ x A
2		dffun4f.2	. . 3 |- F/_ y A
3	1, 2	dffun6f 5186	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )
4		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ y x
5		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ y w
6	4, 2, 5	nfbr 4013	. . . . . 6 |- F/ y x A w
7		breq2 3971	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
8	6, 7	mo4f 2066	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
9		nfv 1508	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z )
10		nfcv 2299	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
11		dffun4f.3	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z A
12		nfcv 2299	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z y
13	10, 11, 12	nfbr 4013	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A y
14		nfcv 2299	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z w
15	10, 11, 14	nfbr 4013	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A w
16	13, 15	nfan 1545	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x A y /\ x A w )
17		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ z y = w
18	16, 17	nfim 1552	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w )
19		breq2 3971	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x A z <-> x A w ) )
20	19	anbi2d 460	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A w ) ) )
21		equequ2 1693	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( y = z <-> y = w ) )
22	20, 21	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) ) )
23	9, 18, 22	cbval 1734	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
24	23	albii 1450	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
25	8, 24	bitr4i 186	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
26	25	albii 1450	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
27	26	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
28		df-br 3968	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
29		df-br 3968	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
30	28, 29	anbi12i 456	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
31	30	imbi1i 237	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
32	31	2albii 1451	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
33	32	albii 1450	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
34	33	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
35	3, 27, 34	3bitri 205	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   E*wmo 2007   e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   <.cop 3564   class class class wbr 3967   Rel wrel 4594   Fun wfun 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-cnv 4597  df-co 4598  df-fun 5175

This theorem is referenced by: (None)