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Theorem dffun4f 5189
Description: Definition of function like dffun4 5184 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dffun4f.1  |-  F/_ x A
dffun4f.2  |-  F/_ y A
dffun4f.3  |-  F/_ z A
Assertion
Ref Expression
dffun4f  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun4f.1 . . 3  |-  F/_ x A
2 dffun4f.2 . . 3  |-  F/_ y A
31, 2dffun6f 5186 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y ) )
4 nfcv 2299 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
5 nfcv 2299 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
64, 2, 5nfbr 4013 . . . . . 6  |-  F/ y  x A w
7 breq2 3971 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
86, 7mo4f 2066 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
9 nfv 1508 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )
10 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
x
11 dffun4f.3 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z A
12 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
y
1310, 11, 12nfbr 4013 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A y
14 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
w
1510, 11, 14nfbr 4013 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A w
1613, 15nfan 1545 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( x A y  /\  x A w )
17 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ z  y  =  w
1816, 17nfim 1552 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w )
19 breq2 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x A z  <->  x A w ) )
2019anbi2d 460 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x A y  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A w ) ) )
21 equequ2 1693 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
y  =  z  <->  y  =  w ) )
2220, 21imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) ) )
239, 18, 22cbval 1734 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w ( ( x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) )
2423albii 1450 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
258, 24bitr4i 186 . . . 4  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2625albii 1450 . . 3  |-  ( A. x E* y  x A y  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
2726anbi2i 453 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
28 df-br 3968 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
29 df-br 3968 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
3028, 29anbi12i 456 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
3130imbi1i 237 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
32312albii 1451 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3332albii 1450 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3433anbi2i 453 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
353, 27, 343bitri 205 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1333   E*wmo 2007    e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   <.cop 3564   class class class wbr 3967   Rel wrel 4594   Fun wfun 5167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-cnv 4597  df-co 4598  df-fun 5175
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