Theorem dfima2 5007

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	⊢ (𝐴 “ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4672	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		dfrn2 4850	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦}
3		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	3	brres 4948	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐴𝑦))
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐴𝑦))
7	6	exbii 1616	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐴𝑦))
8		df-rex 2478	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐴𝑦))
9	7, 8	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦)
10	9	abbii 2309	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥(𝐴 ↾ 𝐵)𝑦} = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦}
11	1, 2, 10	3eqtri 2218	1 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦}

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∃wrex 2473   class class class wbr 4029  ran crn 4660   ↾ cres 4661   “ cima 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672

This theorem is referenced by:  dfima3  5008  elimag  5009  imasng  5030  imadiflem  5333  imadif  5334  imainlem  5335  imain  5336  funimaexglem  5337  dfimafn  5605  isoini  5861