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Theorem imadif 5128
Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
imadif  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anandir 559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21exbii 1548 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  <->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
3 19.40 1574 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
42, 3sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
5 nfv 1473 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x Fun  `' F
6 nfe1 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
75, 6nfan 1509 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
)
8 funmo 5064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  y `' F x )
9 vex 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
10 vex 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
119, 10brcnv 4650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
1211mobii 1992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E* x  y `' F x 
<->  E* x  x F y )
138, 12sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  x F y )
14 mopick 2033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E* x  x F y  /\  E. x
( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1513, 14sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1615con2d 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  B  ->  -.  x F y ) )
17 imnan 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  x F y )  <->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
1816, 17sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
197, 18alrimi 1467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  A. x  -.  (
x  e.  B  /\  x F y ) )
2019ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  ->  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21 exancom 1551 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  <->  E. x
( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )
22 alnex 1440 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
2320, 21, 223imtr3g 203 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y )  ->  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2423anim2d 331 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
254, 24syl5 32 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
26 df-rex 2376 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( A 
\  B ) x F y  <->  E. x
( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
27 eldif 3022 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
2827anbi1i 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x F y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
2928exbii 1548 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
3026, 29bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( A 
\  B ) x F y  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
31 df-rex 2376 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
32 df-rex 2376 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  x F y  <->  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
3332notbii 632 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. x  e.  B  x F y  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
3431, 33anbi12i 449 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
3525, 30, 343imtr4g 204 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x  e.  ( A 
\  B ) x F y  ->  ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y ) ) )
3635ss2abdv 3109 . . 3  |-  ( Fun  `' F  ->  { y  |  E. x  e.  ( A  \  B
) x F y }  C_  { y  |  ( E. x  e.  A  x F
y  /\  -.  E. x  e.  B  x F
y ) } )
37 dfima2 4809 . . 3  |-  ( F
" ( A  \  B ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  \  B ) x F y }
38 dfima2 4809 . . . . 5  |-  ( F
" A )  =  { y  |  E. x  e.  A  x F y }
39 dfima2 4809 . . . . 5  |-  ( F
" B )  =  { y  |  E. x  e.  B  x F y }
4038, 39difeq12i 3131 . . . 4  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  =  ( { y  |  E. x  e.  A  x F y }  \  { y  |  E. x  e.  B  x F y } )
41 difab 3284 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  x F
y }  \  {
y  |  E. x  e.  B  x F
y } )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y ) }
4240, 41eqtri 2115 . . 3  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y ) }
4336, 37, 423sstr4g 3082 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  C_  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )
44 imadiflem 5127 . . 3  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A 
\  B ) )
4544a1i 9 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A 
\  B ) ) )
4643, 45eqssd 3056 1  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1294    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   E*wmo 1956   {cab 2081   E.wrex 2371    \ cdif 3010    C_ wss 3013   class class class wbr 3867   `'ccnv 4466   "cima 4470   Fun wfun 5043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-fun 5051
This theorem is referenced by:  resdif  5310  difpreima  5465  phplem4  6651  phplem4dom  6658  phplem4on  6663  cnclima  12090
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