Theorem imadif 5211

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 581	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
2	1	exbii 1585	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
3		19.40 1611	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
5		nfv 1509	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Fun `' F
6		nfe1 1473	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( x F y /\ -. x e. B )
7	5, 6	nfan 1545	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) )
8		funmo 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> E* x y `' F x )
9		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
11	9, 10	brcnv 4730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y `' F x <-> x F y )
12	11	mobii 2037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* x y `' F x <-> E* x x F y )
13	8, 12	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' F -> E* x x F y )
14		mopick 2078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E* x x F y /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	13, 14	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
16	15	con2d 614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x e. B -> -. x F y ) )
17		imnan 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> -. x F y ) <-> -. ( x e. B /\ x F y ) )
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
19	7, 18	alrimi 1503	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) )
20	19	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
21		exancom 1588	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) <-> E. x ( -. x e. B /\ x F y ) )
22		alnex 1476	. . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
23	20, 21, 22	3imtr3g 203	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( -. x e. B /\ x F y ) -> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
24	23	anim2d 335	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
25	4, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
26		df-rex 2423	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
27		eldif 3085	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
28	27	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
29	28	exbii 1585	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
30	26, 29	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
31		df-rex 2423	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
32		df-rex 2423	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
33	32	notbii 658	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
34	31, 33	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
35	25, 30, 34	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( E. x e. ( A \ B ) x F y -> ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) ) )
36	35	ss2abdv 3175	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | E. x e. ( A \ B ) x F y } C_ { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } )
37		dfima2 4891	. . 3 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
38		dfima2 4891	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
39		dfima2 4891	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
40	38, 39	difeq12i 3197	. . . 4 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
41		difab 3350	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
42	40, 41	eqtri 2161	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
43	36, 37, 42	3sstr4g 3145	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) C_ ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )
44		imadiflem 5210	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )
45	44	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) ) )
46	43, 45	eqssd 3119	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E*wmo 2001   {cab 2126   E.wrex 2418   \ cdif 3073   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   "cima 4550   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  resdif  5397  difpreima  5555  phplem4  6757  phplem4dom  6764  phplem4on  6769  cnclima  12431