Theorem imadif 5410

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
2	1	exbii 1653	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
3		19.40 1679	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
5		nfv 1576	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Fun `' F
6		nfe1 1544	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( x F y /\ -. x e. B )
7	5, 6	nfan 1613	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) )
8		funmo 5341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> E* x y `' F x )
9		vex 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
11	9, 10	brcnv 4913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y `' F x <-> x F y )
12	11	mobii 2116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* x y `' F x <-> E* x x F y )
13	8, 12	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' F -> E* x x F y )
14		mopick 2158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E* x x F y /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	13, 14	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
16	15	con2d 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x e. B -> -. x F y ) )
17		imnan 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> -. x F y ) <-> -. ( x e. B /\ x F y ) )
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
19	7, 18	alrimi 1570	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
21		exancom 1656	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) <-> E. x ( -. x e. B /\ x F y ) )
22		alnex 1547	. . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
23	20, 21, 22	3imtr3g 204	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( -. x e. B /\ x F y ) -> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
24	23	anim2d 337	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
25	4, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
26		df-rex 2516	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
27		eldif 3209	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
28	27	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
29	28	exbii 1653	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
30	26, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
31		df-rex 2516	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
32		df-rex 2516	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
33	32	notbii 674	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
34	31, 33	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
35	25, 30, 34	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( E. x e. ( A \ B ) x F y -> ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) ) )
36	35	ss2abdv 3300	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | E. x e. ( A \ B ) x F y } C_ { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } )
37		dfima2 5078	. . 3 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
38		dfima2 5078	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
39		dfima2 5078	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
40	38, 39	difeq12i 3323	. . . 4 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
41		difab 3476	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
42	40, 41	eqtri 2252	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
43	36, 37, 42	3sstr4g 3270	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) C_ ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )
44		imadiflem 5409	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )
45	44	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) ) )
46	43, 45	eqssd 3244	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   E*wmo 2080   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   \ cdif 3197   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   "cima 4728   Fun wfun 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328

This theorem is referenced by:  resdif  5605  difpreima  5774  phplem4  7040  phplem4dom  7047  phplem4on  7053  cnclima  14946