Theorem imadif 5339

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 591	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
2	1	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
3		19.40 1645	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
5		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Fun `' F
6		nfe1 1510	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( x F y /\ -. x e. B )
7	5, 6	nfan 1579	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) )
8		funmo 5274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> E* x y `' F x )
9		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
11	9, 10	brcnv 4850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y `' F x <-> x F y )
12	11	mobii 2082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* x y `' F x <-> E* x x F y )
13	8, 12	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' F -> E* x x F y )
14		mopick 2123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E* x x F y /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	13, 14	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
16	15	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x e. B -> -. x F y ) )
17		imnan 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> -. x F y ) <-> -. ( x e. B /\ x F y ) )
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
19	7, 18	alrimi 1536	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
21		exancom 1622	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) <-> E. x ( -. x e. B /\ x F y ) )
22		alnex 1513	. . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
23	20, 21, 22	3imtr3g 204	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( -. x e. B /\ x F y ) -> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
24	23	anim2d 337	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
25	4, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
26		df-rex 2481	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
27		eldif 3166	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
28	27	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
29	28	exbii 1619	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
30	26, 29	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
31		df-rex 2481	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
32		df-rex 2481	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
33	32	notbii 669	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
34	31, 33	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
35	25, 30, 34	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( E. x e. ( A \ B ) x F y -> ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) ) )
36	35	ss2abdv 3257	. . 3 |- ( Fun `' F -> { y | E. x e. ( A \ B ) x F y } C_ { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } )
37		dfima2 5012	. . 3 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
38		dfima2 5012	. . . . 5 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
39		dfima2 5012	. . . . 5 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
40	38, 39	difeq12i 3280	. . . 4 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
41		difab 3433	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
42	40, 41	eqtri 2217	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
43	36, 37, 42	3sstr4g 3227	. 2 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) C_ ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )
44		imadiflem 5338	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )
45	44	a1i 9	. 2 |- ( Fun `' F -> ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) ) )
46	43, 45	eqssd 3201	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E*wmo 2046   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   \ cdif 3154   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   `'ccnv 4663   "cima 4667   Fun wfun 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261

This theorem is referenced by:  resdif  5529  difpreima  5692  phplem4  6925  phplem4dom  6932  phplem4on  6937  cnclima  14543