Theorem imadiflem 5202

Description: One direction of imadif 5203. This direction does not require Fun `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
imadiflem	|- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Proof of Theorem imadiflem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2422	. . . 4 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
2		df-rex 2422	. . . . 5 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
3	2	notbii 657	. . . 4 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
4		alnex 1475	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
5		19.29r 1600	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
6	4, 5	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
7		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. A /\ x F y ) )
8		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> x F y )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
10		ancom 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y /\ x e. B ) )
11	10	notbii 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
12		imnan 679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x F y -> -. x e. B ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
13	11, 12	bitr4i 186	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y -> -. x e. B ) )
14	9, 13	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	8, 14	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. x e. B )
16	7, 15, 8	jca32 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
17		eldif 3080	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	anbi1i 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
19		anandir 580	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
20	18, 19	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
21	16, 20	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
22	21	eximi 1579	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
23	6, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
24		df-rex 2422	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
25	23, 24	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
26	1, 3, 25	syl2anb 289	. . 3 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
27	26	ss2abi 3169	. 2 |- { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } C_ { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
28		dfima2 4883	. . . 4 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
29		dfima2 4883	. . . 4 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
30	28, 29	difeq12i 3192	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
31		difab 3345	. . 3 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
32	30, 31	eqtri 2160	. 2 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
33		dfima2 4883	. 2 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
34	27, 32, 33	3sstr4i 3138	1 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   \ cdif 3068   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   "cima 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552

This theorem is referenced by:  imadif  5203