Theorem imadiflem 5277

Description: One direction of imadif 5278. This direction does not require Fun `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
imadiflem	|- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Proof of Theorem imadiflem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
2		df-rex 2454	. . . . 5 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
3	2	notbii 663	. . . 4 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
4		alnex 1492	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
5		19.29r 1614	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
6	4, 5	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
7		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. A /\ x F y ) )
8		simplr 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> x F y )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
10		ancom 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y /\ x e. B ) )
11	10	notbii 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
12		imnan 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x F y -> -. x e. B ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
13	11, 12	bitr4i 186	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y -> -. x e. B ) )
14	9, 13	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	8, 14	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. x e. B )
16	7, 15, 8	jca32 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
17		eldif 3130	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	anbi1i 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
19		anandir 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
20	18, 19	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
21	16, 20	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
22	21	eximi 1593	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
23	6, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
24		df-rex 2454	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
25	23, 24	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
26	1, 3, 25	syl2anb 289	. . 3 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
27	26	ss2abi 3219	. 2 |- { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } C_ { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
28		dfima2 4955	. . . 4 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
29		dfima2 4955	. . . 4 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
30	28, 29	difeq12i 3243	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
31		difab 3396	. . 3 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
32	30, 31	eqtri 2191	. 2 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
33		dfima2 4955	. 2 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
34	27, 32, 33	3sstr4i 3188	1 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   \ cdif 3118   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   "cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  imadif  5278