Theorem imadiflem 5314

Description: One direction of imadif 5315. This direction does not require Fun `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
imadiflem	|- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Proof of Theorem imadiflem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2474	. . . 4 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
2		df-rex 2474	. . . . 5 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
3	2	notbii 669	. . . 4 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
4		alnex 1510	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
5		19.29r 1632	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
6	4, 5	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
7		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. A /\ x F y ) )
8		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> x F y )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
10		ancom 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y /\ x e. B ) )
11	10	notbii 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
12		imnan 691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x F y -> -. x e. B ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y -> -. x e. B ) )
14	9, 13	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	8, 14	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. x e. B )
16	7, 15, 8	jca32 310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
17		eldif 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
19		anandir 591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
20	18, 19	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
21	16, 20	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
22	21	eximi 1611	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
23	6, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
24		df-rex 2474	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
26	1, 3, 25	syl2anb 291	. . 3 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
27	26	ss2abi 3242	. 2 |- { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } C_ { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
28		dfima2 4990	. . . 4 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
29		dfima2 4990	. . . 4 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
30	28, 29	difeq12i 3266	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
31		difab 3419	. . 3 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
32	30, 31	eqtri 2210	. 2 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
33		dfima2 4990	. 2 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
34	27, 32, 33	3sstr4i 3211	1 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   \ cdif 3141   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   "cima 4647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657

This theorem is referenced by:  imadif  5315