ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imadiflem Unicode version

Theorem imadiflem 5314
Description: One direction of imadif 5315. This direction does not require  Fun  `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
imadiflem  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A 
\  B ) )

Proof of Theorem imadiflem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2474 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
2 df-rex 2474 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  B  x F y  <->  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
32notbii 669 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  B  x F y  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
4 alnex 1510 . . . . . . 7  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
5 19.29r 1632 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
64, 5sylan2br 288 . . . . . 6  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
7 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
8 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  x F y )
9 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
10 ancom 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  ( x F y  /\  x  e.  B ) )
1110notbii 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  -.  ( x F y  /\  x  e.  B
) )
12 imnan 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x F y  ->  -.  x  e.  B
)  <->  -.  ( x F y  /\  x  e.  B ) )
1311, 12bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <-> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
149, 13sylib 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
158, 14mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  -.  x  e.  B )
167, 15, 8jca32 310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
17 eldif 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
1817anbi1i 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x F y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
19 anandir 591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2018, 19bitri 184 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x F y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2116, 20sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y ) )
2221eximi 1611 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x
( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
236, 22syl 14 . . . . 5  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
24 df-rex 2474 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( A 
\  B ) x F y  <->  E. x
( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
2523, 24sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B ) x F y )
261, 3, 25syl2anb 291 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y )  ->  E. x  e.  ( A  \  B ) x F y )
2726ss2abi 3242 . 2  |-  { y  |  ( E. x  e.  A  x F
y  /\  -.  E. x  e.  B  x F
y ) }  C_  { y  |  E. x  e.  ( A  \  B
) x F y }
28 dfima2 4990 . . . 4  |-  ( F
" A )  =  { y  |  E. x  e.  A  x F y }
29 dfima2 4990 . . . 4  |-  ( F
" B )  =  { y  |  E. x  e.  B  x F y }
3028, 29difeq12i 3266 . . 3  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  =  ( { y  |  E. x  e.  A  x F y }  \  { y  |  E. x  e.  B  x F y } )
31 difab 3419 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  x F
y }  \  {
y  |  E. x  e.  B  x F
y } )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y ) }
3230, 31eqtri 2210 . 2  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  =  { y  |  ( E. x  e.  A  x F y  /\  -.  E. x  e.  B  x F y ) }
33 dfima2 4990 . 2  |-  ( F
" ( A  \  B ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  \  B ) x F y }
3427, 32, 333sstr4i 3211 1  |-  ( ( F " A ) 
\  ( F " B ) )  C_  ( F " ( A 
\  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469    \ cdif 3141    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   "cima 4647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657
This theorem is referenced by:  imadif  5315
  Copyright terms: Public domain W3C validator