Theorem imadiflem 5455

Description: One direction of imadif 5456. This direction does not require Fun `' F. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
imadiflem	|- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Proof of Theorem imadiflem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
2		df-rex 2534	. . . . 5 |- ( E. x e. B x F y <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
3	2	notbii 678	. . . 4 |- ( -. E. x e. B x F y <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
4		alnex 1552	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
5		19.29r 1674	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
6	4, 5	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
7		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. A /\ x F y ) )
8		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> x F y )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
10		ancom 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y /\ x e. B ) )
11	10	notbii 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
12		imnan 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x F y -> -. x e. B ) <-> -. ( x F y /\ x e. B ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( x F y -> -. x e. B ) )
14	9, 13	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	8, 14	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> -. x e. B )
16	7, 15, 8	jca32 310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
17		eldif 3229	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	anbi1i 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
19		anandir 599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
20	18, 19	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
21	16, 20	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
22	21	eximi 1653	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
23	6, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
24		df-rex 2534	. . . . 5 |- ( E. x e. ( A \ B ) x F y <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
26	1, 3, 25	syl2anb 291	. . 3 |- ( ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) -> E. x e. ( A \ B ) x F y )
27	26	ss2abi 3320	. 2 |- { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) } C_ { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
28		dfima2 5123	. . . 4 |- ( F " A ) = { y | E. x e. A x F y }
29		dfima2 5123	. . . 4 |- ( F " B ) = { y | E. x e. B x F y }
30	28, 29	difeq12i 3345	. . 3 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } )
31		difab 3500	. . 3 |- ( { y | E. x e. A x F y } \ { y | E. x e. B x F y } ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
32	30, 31	eqtri 2259	. 2 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) = { y | ( E. x e. A x F y /\ -. E. x e. B x F y ) }
33		dfima2 5123	. 2 |- ( F " ( A \ B ) ) = { y | E. x e. ( A \ B ) x F y }
34	27, 32, 33	3sstr4i 3289	1 |- ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) C_ ( F " ( A \ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   \ cdif 3217   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   "cima 4772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782

This theorem is referenced by:  imadif  5456