Theorem elioo5 9832

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
elioo5	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo1 9810	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A < C /\ C < B ) ) )
2	1	3adant3 1002	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A < C /\ C < B ) ) )
3		3anass 967	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
4	3	baibr 906	. . 3 |- ( C e. RR* -> ( ( A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR* /\ A < C /\ C < B ) ) )
5	4	3ad2ant3 1005	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR* /\ A < C /\ C < B ) ) )
6	2, 5	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RR*cxr 7906   < clt 7907   (,)cioo 9787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ioo 9791

This theorem is referenced by:  iooshf  9851  iooneg  9887