Theorem iccgelb 10007

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 9999	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2	1	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
3	2	simp2d 1012	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )
4	3	3impa 1196	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RR*cxr 8060   <_ cle 8062   [,]cicc 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-icc 9970

This theorem is referenced by:  cos12dec  11933  suplociccreex  14860  suplociccex  14861  dedekindicc  14869