Theorem iccgelb 10313

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 10305	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2	1	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
3	2	simp2d 1041	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )
4	3	3impa 1225	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   [,]cicc 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-icc 10276

This theorem is referenced by:  cos12dec  12513  suplociccreex  15648  suplociccex  15649  dedekindicc  15657