Theorem elunirn 5858

Description: Membership in the union of the range of a function. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem elunirn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3867	. 2 |- ( A e. U. ran F <-> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
2		funfn 5320	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
3		fvelrnb 5649	. . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) ) )
6		r19.42v 2665	. . . . . 6 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) ) )
8		eleq2 2271	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> ( A e. ( F ` x ) <-> A e. y ) )
9	8	biimparc 299	. . . . . 6 |- ( ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> A e. ( F ` x ) )
10	9	reximi 2605	. . . . 5 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) )
11	7, 10	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
12	11	exlimdv 1843	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
13		fvelrn 5734	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. ran F )
14		funfvex 5616	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
15		eleq2 2271	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( A e. y <-> A e. ( F ` x ) ) )
16		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ran F <-> ( F ` x ) e. ran F ) )
17	15, 16	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
18	17	spcegv 2868	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
19	14, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
20	13, 19	mpan2d 428	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
21	20	rexlimdva 2625	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. x e. dom F A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
22	12, 21	impbid 129	. 2 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
23	1, 22	bitrid 192	1 |- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   U.cuni 3864   dom cdm 4693   ran crn 4694   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fnunirn  5859