Theorem elunirn 5780

Description: Membership in the union of the range of a function. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem elunirn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3824	. 2 |- ( A e. U. ran F <-> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
2		funfn 5258	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
3		fvelrnb 5576	. . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) ) )
6		r19.42v 2644	. . . . . 6 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) ) )
8		eleq2 2251	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> ( A e. ( F ` x ) <-> A e. y ) )
9	8	biimparc 299	. . . . . 6 |- ( ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> A e. ( F ` x ) )
10	9	reximi 2584	. . . . 5 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) )
11	7, 10	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
12	11	exlimdv 1829	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
13		fvelrn 5660	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. ran F )
14		funfvex 5544	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
15		eleq2 2251	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( A e. y <-> A e. ( F ` x ) ) )
16		eleq1 2250	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ran F <-> ( F ` x ) e. ran F ) )
17	15, 16	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
18	17	spcegv 2837	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
19	14, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
20	13, 19	mpan2d 428	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
21	20	rexlimdva 2604	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. x e. dom F A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
22	12, 21	impbid 129	. 2 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
23	1, 22	bitrid 192	1 |- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   U.cuni 3821   dom cdm 4638   ran crn 4639   Fun wfun 5222   Fn wfn 5223   ` cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  fnunirn  5781