Theorem elunirn 5734

Description: Membership in the union of the range of a function. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem elunirn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3792	. 2 |- ( A e. U. ran F <-> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
2		funfn 5218	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
3		fvelrnb 5534	. . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
5	4	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) ) )
6		r19.42v 2623	. . . . . 6 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
7	5, 6	bitr4di 197	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) ) )
8		eleq2 2230	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> ( A e. ( F ` x ) <-> A e. y ) )
9	8	biimparc 297	. . . . . 6 |- ( ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> A e. ( F ` x ) )
10	9	reximi 2563	. . . . 5 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) )
11	7, 10	syl6bi 162	. . . 4 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
12	11	exlimdv 1807	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
13		fvelrn 5616	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. ran F )
14		funfvex 5503	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
15		eleq2 2230	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( A e. y <-> A e. ( F ` x ) ) )
16		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ran F <-> ( F ` x ) e. ran F ) )
17	15, 16	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
18	17	spcegv 2814	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
19	14, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
20	13, 19	mpan2d 425	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
21	20	rexlimdva 2583	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. x e. dom F A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
22	12, 21	impbid 128	. 2 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
23	1, 22	syl5bb 191	1 |- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   U.cuni 3789   dom cdm 4604   ran crn 4605   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fnunirn  5735