Theorem elunirn 5713

Description: Membership in the union of the range of a function. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem elunirn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3775	. 2 |- ( A e. U. ran F <-> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
2		funfn 5199	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
3		fvelrnb 5515	. . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
5	4	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) ) )
6		r19.42v 2614	. . . . . 6 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
7	5, 6	bitr4di 197	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) ) )
8		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> ( A e. ( F ` x ) <-> A e. y ) )
9	8	biimparc 297	. . . . . 6 |- ( ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> A e. ( F ` x ) )
10	9	reximi 2554	. . . . 5 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) )
11	7, 10	syl6bi 162	. . . 4 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
12	11	exlimdv 1799	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
13		fvelrn 5597	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. ran F )
14		funfvex 5484	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
15		eleq2 2221	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( A e. y <-> A e. ( F ` x ) ) )
16		eleq1 2220	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ran F <-> ( F ` x ) e. ran F ) )
17	15, 16	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
18	17	spcegv 2800	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
19	14, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
20	13, 19	mpan2d 425	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
21	20	rexlimdva 2574	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. x e. dom F A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
22	12, 21	impbid 128	. 2 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
23	1, 22	syl5bb 191	1 |- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   U.cuni 3772   dom cdm 4585   ran crn 4586   Fun wfun 5163   Fn wfn 5164   ` cfv 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-fv 5177

This theorem is referenced by:  fnunirn  5714