Theorem en1eqsnbi 6951

Description: A set containing an element has exactly one element iff it is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnbi	|- ( A e. B -> ( B ~~ 1o <-> B = { A } ) )

Proof of Theorem en1eqsnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1eqsn 6950	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )
2	1	ex 115	. 2 |- ( A e. B -> ( B ~~ 1o -> B = { A } ) )
3		ensn1g 6800	. . 3 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
4		breq1 4008	. . 3 |- ( B = { A } -> ( B ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( A e. B -> ( B = { A } -> B ~~ 1o ) )
6	2, 5	impbid 129	1 |- ( A e. B -> ( B ~~ 1o <-> B = { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3594   class class class wbr 4005   1oc1o 6413   ~~ cen 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by:  srgen1zr  13177