Theorem en1eqsnbi 6923

Description: A set containing an element has exactly one element iff it is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnbi	|- ( A e. B -> ( B ~~ 1o <-> B = { A } ) )

Proof of Theorem en1eqsnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1eqsn 6922	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )
2	1	ex 114	. 2 |- ( A e. B -> ( B ~~ 1o -> B = { A } ) )
3		ensn1g 6772	. . 3 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
4		breq1 3990	. . 3 |- ( B = { A } -> ( B ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( A e. B -> ( B = { A } -> B ~~ 1o ) )
6	2, 5	impbid 128	1 |- ( A e. B -> ( B ~~ 1o <-> B = { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3581   class class class wbr 3987   1oc1o 6386   ~~ cen 6713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1o 6393  df-er 6510  df-en 6716  df-fin 6718

This theorem is referenced by: (None)