Theorem ensn1g 6912

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3654	. . 3 |- ( x = A -> { x } = { A } )
2	1	breq1d 4069	. 2 |- ( x = A -> ( { x } ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
3		vex 2779	. . 3 |- x e. _V
4	3	ensn1 6911	. 2 |- { x } ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 2838	1 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   class class class wbr 4059   1oc1o 6518   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-1o 6525  df-en 6851

This theorem is referenced by:  enpr1g  6913  en1bg  6915  en2sn  6929  snfig  6930  enpr2d  6935  snnen2og  6981  en1eqsn  7076  en1eqsnbi  7077  pr2nelem  7325  dju1en  7356  triv1nsgd  13669