Theorem ensn1g 6970

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3680	. . 3 |- ( x = A -> { x } = { A } )
2	1	breq1d 4098	. 2 |- ( x = A -> ( { x } ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
3		vex 2805	. . 3 |- x e. _V
4	3	ensn1 6969	. 2 |- { x } ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 2864	1 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   class class class wbr 4088   1oc1o 6574   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6581  df-en 6909

This theorem is referenced by:  enpr1g  6971  en1bg  6973  en2sn  6987  snfig  6988  enpr2d  6996  snnen2og  7044  eqsndc  7094  en1eqsn  7146  en1eqsnbi  7147  pr2nelem  7395  dju1en  7427  triv1nsgd  13804