Theorem ensn1g 6889

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3644	. . 3 |- ( x = A -> { x } = { A } )
2	1	breq1d 4054	. 2 |- ( x = A -> ( { x } ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
3		vex 2775	. . 3 |- x e. _V
4	3	ensn1 6888	. 2 |- { x } ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 2833	1 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   class class class wbr 4044   1oc1o 6495   ~~ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6502  df-en 6828

This theorem is referenced by:  enpr1g  6890  en1bg  6892  en2sn  6905  snfig  6906  enpr2d  6911  snnen2og  6956  en1eqsn  7050  en1eqsnbi  7051  pr2nelem  7299  dju1en  7325  triv1nsgd  13554