Theorem ensn1g 7074

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3716	. . 3 |- ( x = A -> { x } = { A } )
2	1	breq1d 4135	. 2 |- ( x = A -> ( { x } ~~ 1o <-> { A } ~~ 1o ) )
3		vex 2824	. . 3 |- x e. _V
4	3	ensn1 7073	. 2 |- { x } ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 2883	1 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   class class class wbr 4125   1oc1o 6670   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-1o 6677  df-en 7013

This theorem is referenced by:  enpr1g  7075  en1bg  7077  en2sn  7092  snfig  7093  enpr2d  7101  snnen2og  7150  eqsndc  7200  en1eqsn  7255  en1eqsnbi  7256  pr2nelem  7527  dju1en  7559  triv1nsgd  13998