ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgen1zr Unicode version

Theorem srgen1zr 13171
Description: The only semiring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srg1zr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srg1zr.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
srg1zr.t  |-  .*  =  ( .r `  R )
srgen1zr.p  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
srgen1zr  |-  ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  ->  ( B  ~~  1o  <->  (  .+  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }  /\  .*  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ) ) )

Proof of Theorem srgen1zr
StepHypRef Expression
1 srg1zr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 srgen1zr.p . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
31, 2srg0cl 13160 . . 3  |-  ( R  e. SRing  ->  Z  e.  B
)
433ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  ->  Z  e.  B )
5 en1eqsnbi 6948 . . . 4  |-  ( Z  e.  B  ->  ( B  ~~  1o  <->  B  =  { Z } ) )
65adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( B  ~~  1o  <->  B  =  { Z } ) )
7 srg1zr.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 srg1zr.t . . . 4  |-  .*  =  ( .r `  R )
91, 7, 8srg1zr 13170 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( B  =  { Z } 
<->  (  .+  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }  /\  .*  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ) ) )
106, 9bitrd 188 . 2  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( B  ~~  1o  <->  (  .+  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }  /\  .*  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ) ) )
114, 10mpdan 421 1  |-  ( ( R  e. SRing  /\  .+  Fn  ( B  X.  B
)  /\  .*  Fn  ( B  X.  B
) )  ->  ( B  ~~  1o  <->  (  .+  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }  /\  .*  =  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004    X. cxp 4625    Fn wfn 5212   ` cfv 5217   1oc1o 6410    ~~ cen 6738   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   .rcmulr 12537   0gc0g 12705  SRingcsrg 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-plusf 12774  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-cmn 13090  df-mgp 13131  df-srg 13147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator