Theorem srgen1zr 12964

Description: The only semiring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1zr.b	|- B = ( Base ` R )
srg1zr.p	|- .+ = ( +g ` R )
srg1zr.t	|- .* = ( .r ` R )
srgen1zr.p	|- Z = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgen1zr	|- ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) -> ( B ~~ 1o <-> ( .+ = { <. <. Z , Z >. , Z >. } /\ .* = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) ) )

Proof of Theorem srgen1zr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1zr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		srgen1zr.p	. . . 4 |- Z = ( 0g ` R )
3	1, 2	srg0cl 12953	. . 3 |- ( R e. SRing -> Z e. B )
4	3	3ad2ant1 1018	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) -> Z e. B )
5		en1eqsnbi 6938	. . . 4 |- ( Z e. B -> ( B ~~ 1o <-> B = { Z } ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) /\ Z e. B ) -> ( B ~~ 1o <-> B = { Z } ) )
7		srg1zr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
8		srg1zr.t	. . . 4 |- .* = ( .r ` R )
9	1, 7, 8	srg1zr 12963	. . 3 |- ( ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> ( .+ = { <. <. Z , Z >. , Z >. } /\ .* = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) ) )
10	6, 9	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) /\ Z e. B ) -> ( B ~~ 1o <-> ( .+ = { <. <. Z , Z >. , Z >. } /\ .* = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) ) )
11	4, 10	mpdan 421	1 |- ( ( R e. SRing /\ .+ Fn ( B X. B ) /\ .* Fn ( B X. B ) ) -> ( B ~~ 1o <-> ( .+ = { <. <. Z , Z >. , Z >. } /\ .* = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   {csn 3589   <.cop 3592   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   Fn wfn 5203   ` cfv 5208   1oc1o 6400   ~~ cen 6728   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   .rcmulr 12493   0gc0g 12626  SRingcsrg 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-plusf 12639  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-cmn 12886  df-mgp 12926  df-srg 12940

This theorem is referenced by: (None)