Theorem en1eqsn 7014

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	|- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6578	. . . . . 6 |- 1o e. om
2		nnfi 6933	. . . . . 6 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o e. Fin
4		enfii 6935	. . . . 5 |- ( ( 1o e. Fin /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> B e. Fin )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
7		snssi 3766	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } C_ B )
9		ensn1g 6856	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
10		ensym 6840	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> 1o ~~ B )
11		entr 6843	. . . 4 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ B ) -> { A } ~~ B )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } ~~ B )
13		fisseneq 6995	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ { A } C_ B /\ { A } ~~ B ) -> { A } = B )
14	6, 8, 12, 13	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } = B )
15	14	eqcomd 2202	1 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3622   class class class wbr 4033   omcom 4626   1oc1o 6467   ~~ cen 6797   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  7015  1nsgtrivd  13349  en1top  14313