Theorem en1eqsn 6913

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	|- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6488	. . . . . 6 |- 1o e. om
2		nnfi 6838	. . . . . 6 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o e. Fin
4		enfii 6840	. . . . 5 |- ( ( 1o e. Fin /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
5	3, 4	mpan 421	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> B e. Fin )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
7		snssi 3717	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } C_ B )
9		ensn1g 6763	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
10		ensym 6747	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> 1o ~~ B )
11		entr 6750	. . . 4 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ B ) -> { A } ~~ B )
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } ~~ B )
13		fisseneq 6897	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ { A } C_ B /\ { A } ~~ B ) -> { A } = B )
14	6, 8, 12, 13	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } = B )
15	14	eqcomd 2171	1 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   {csn 3576   class class class wbr 3982   omcom 4567   1oc1o 6377   ~~ cen 6704   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  6914  en1top  12717