Theorem en1eqsn 6836

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	|- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6416	. . . . . 6 |- 1o e. om
2		nnfi 6766	. . . . . 6 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o e. Fin
4		enfii 6768	. . . . 5 |- ( ( 1o e. Fin /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
5	3, 4	mpan 420	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> B e. Fin )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
7		snssi 3664	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } C_ B )
9		ensn1g 6691	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
10		ensym 6675	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> 1o ~~ B )
11		entr 6678	. . . 4 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ B ) -> { A } ~~ B )
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } ~~ B )
13		fisseneq 6820	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ { A } C_ B /\ { A } ~~ B ) -> { A } = B )
14	6, 8, 12, 13	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } = B )
15	14	eqcomd 2145	1 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   {csn 3527   class class class wbr 3929   omcom 4504   1oc1o 6306   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  6837  en1top  12246