Theorem en1eqsn 7076

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	|- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6629	. . . . . 6 |- 1o e. om
2		nnfi 6995	. . . . . 6 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o e. Fin
4		enfii 6997	. . . . 5 |- ( ( 1o e. Fin /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> B e. Fin )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
7		snssi 3788	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } C_ B )
9		ensn1g 6912	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
10		ensym 6896	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> 1o ~~ B )
11		entr 6899	. . . 4 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ B ) -> { A } ~~ B )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } ~~ B )
13		fisseneq 7057	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ { A } C_ B /\ { A } ~~ B ) -> { A } = B )
14	6, 8, 12, 13	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } = B )
15	14	eqcomd 2213	1 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   {csn 3643   class class class wbr 4059   omcom 4656   1oc1o 6518   ~~ cen 6848   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  7077  1nsgtrivd  13670  en1top  14664