Theorem en1eqsnbi 7050

Description: A set containing an element has exactly one element iff it is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnbi	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o ↔ 𝐵 = {𝐴}))

Proof of Theorem en1eqsnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1eqsn 7049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 = {𝐴}))
3		ensn1g 6888	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
4		breq1 4046	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝐴} → (𝐵 ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
5	3, 4	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐵 = {𝐴} → 𝐵 ≈ 1o))
6	2, 5	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o ↔ 𝐵 = {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  {csn 3632   class class class wbr 4043  1_oc1o 6494   ≈ cen 6824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829

This theorem is referenced by:  srgen1zr  13692