Theorem en2lp 4586

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
en2lp	⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem en2lp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
2		prid2g 3723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3		eldif 3162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
4		pm3.4 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
5	3, 4	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
6	5	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
7	2, 6	mt2d 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
8	1, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
9	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
10		simp1r 1024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
11		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐵 ∈ 𝑥))
12		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
14	13	spcgv 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
15	14	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
16	15	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
17		eleq2 2257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑥 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
18	17	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
19	18	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
20	16, 19	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
21	10, 20	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
22	21	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
23	9, 22	mtod 664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
24		elex 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
25		prid1g 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
26		eldif 3162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
27		pm3.4 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
28	26, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
30	25, 29	mt2d 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
31	24, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
34		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑥))
36		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
37	35, 36	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
38	37	spcgv 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
39	38	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
40	39	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
41		eleq2 2257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
42	41	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
43	42	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
44	40, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
45	34, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
46	45	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → (𝑥 = 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
47	33, 46	mtod 664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
48		ioran 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵))
49	23, 47, 48	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
50		vex 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
51		eldif 3162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
52	50, 51	mpbiran 942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
53	50	elpr 3639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
54	52, 53	xchbinx 683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
55	49, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
56	55	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
57	56	alrimiv 1885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
58		df-ral 2477	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
59		clelsb1 2298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
60	59	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
61	60	albii 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
62	58, 61	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
64	63	albii 1481	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ ∀𝑥(∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
65	57, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
66		ax-setind 4569	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → ∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
67	65, 66	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
68		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
69	68	spcgv 2847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
70	69	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
71	67, 70	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
72	71, 32	pm2.65i 640	1 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   = wceq 1364  [wsb 1773   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ∖ cdif 3150  {cpr 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625

This theorem is referenced by:  preleq  4587  suc11g  4589  ordsuc  4595  2pwuninelg  6336  nntri2  6547  nndcel  6553