Theorem en2sn 6813

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A } ~~ { B } )

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 6797	. 2 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
2		ensn1g 6797	. . 3 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
3	2	ensymd 6783	. 2 |- ( B e. D -> 1o ~~ { B } )
4		entr 6784	. 2 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ { B } ) -> { A } ~~ { B } )
5	1, 3, 4	syl2an 289	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A } ~~ { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   {csn 3593   class class class wbr 4004   1oc1o 6410   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741

This theorem is referenced by:  enpr2d  6817  fiunsnnn  6881  unsnfi  6918  frecfzennn  10426  hashsng  10778