Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzennn Unicode version

Theorem frecfzennn 10192
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See frec2uz0d 10165 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 frec
Assertion
Ref Expression
frecfzennn

Proof of Theorem frecfzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5775 . . 3
2 fveq2 5414 . . 3
31, 2breq12d 3937 . 2
4 oveq2 5775 . . 3
5 fveq2 5414 . . 3
64, 5breq12d 3937 . 2
7 oveq2 5775 . . 3
8 fveq2 5414 . . 3
97, 8breq12d 3937 . 2
10 oveq2 5775 . . 3
11 fveq2 5414 . . 3
1210, 11breq12d 3937 . 2
13 0ex 4050 . . . 4
1413enref 6652 . . 3
15 fz10 9819 . . 3
16 0zd 9059 . . . . . . 7
17 frecfzennn.1 . . . . . . 7 frec
1816, 17frec2uzf1od 10172 . . . . . 6
1918mptru 1340 . . . . 5
20 peano1 4503 . . . . 5
2119, 20pm3.2i 270 . . . 4
2216, 17frec2uz0d 10165 . . . . 5
2322mptru 1340 . . . 4
24 f1ocnvfv 5673 . . . 4
2521, 23, 24mp2 16 . . 3
2614, 15, 253brtr4i 3953 . 2
27 simpr 109 . . . . 5
28 peano2nn0 9010 . . . . . . 7
29 zex 9056 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029mptex 5639 . . . . . . . . . . . . . 14
31 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31fvex 5434 . . . . . . . . . . . . 13
3332ax-gen 1425 . . . . . . . . . . . 12
34 0z 9058 . . . . . . . . . . . 12
35 frecfnom 6291 . . . . . . . . . . . 12 frec
3633, 34, 35mp2an 422 . . . . . . . . . . 11 frec
3717fneq1i 5212 . . . . . . . . . . 11 frec
3836, 37mpbir 145 . . . . . . . . . 10
39 omex 4502 . . . . . . . . . 10
40 fnex 5635 . . . . . . . . . 10
4138, 39, 40mp2an 422 . . . . . . . . 9
4241cnvex 5072 . . . . . . . 8
43 vex 2684 . . . . . . . 8
4442, 43fvex 5434 . . . . . . 7
45 en2sn 6700 . . . . . . 7
4628, 44, 45sylancl 409 . . . . . 6
4746adantr 274 . . . . 5
48 fzp1disj 9853 . . . . . 6
4948a1i 9 . . . . 5
50 f1ocnvdm 5675 . . . . . . . . . 10
5119, 50mpan 420 . . . . . . . . 9
52 nn0uz 9353 . . . . . . . . 9
5351, 52eleq2s 2232 . . . . . . . 8
54 nnord 4520 . . . . . . . 8
55 ordirr 4452 . . . . . . . 8
5653, 54, 553syl 17 . . . . . . 7
5756adantr 274 . . . . . 6
58 disjsn 3580 . . . . . 6
5957, 58sylibr 133 . . . . 5
60 unen 6703 . . . . 5
6127, 47, 49, 59, 60syl22anc 1217 . . . 4
62 1z 9073 . . . . . 6
63 1m1e0 8782 . . . . . . . . . 10
6463fveq2i 5417 . . . . . . . . 9
6552, 64eqtr4i 2161 . . . . . . . 8
6665eleq2i 2204 . . . . . . 7
6766biimpi 119 . . . . . 6
68 fzsuc2 9852 . . . . . 6
6962, 67, 68sylancr 410 . . . . 5
7069adantr 274 . . . 4
71 peano2 4504 . . . . . . . . 9
7253, 71syl 14 . . . . . . . 8
7372, 19jctil 310 . . . . . . 7
74 0zd 9059 . . . . . . . . . 10
75 id 19 . . . . . . . . . 10
7674, 17, 75frec2uzsucd 10167 . . . . . . . . 9
7753, 76syl 14 . . . . . . . 8
7852eleq2i 2204 . . . . . . . . . . 11
7978biimpi 119 . . . . . . . . . 10
80 f1ocnvfv2 5672 . . . . . . . . . 10
8119, 79, 80sylancr 410 . . . . . . . . 9
8281oveq1d 5782 . . . . . . . 8
8377, 82eqtrd 2170 . . . . . . 7
84 f1ocnvfv 5673 . . . . . . 7
8573, 83, 84sylc 62 . . . . . 6
8685adantr 274 . . . . 5
87 df-suc 4288 . . . . 5
8886, 87syl6eq 2186 . . . 4
8961, 70, 883brtr4d 3955 . . 3
9089ex 114 . 2
913, 6, 9, 12, 26, 90nn0ind 9158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103  wal 1329   wceq 1331   wtru 1332   wcel 1480  cvv 2681   cun 3064   cin 3065  c0 3358  csn 3522   class class class wbr 3924   cmpt 3984   word 4279   csuc 4282  com 4499  ccnv 4533   wfn 5113  wf1o 5117  cfv 5118  (class class class)co 5767  freccfrec 6280   cen 6625  cc0 7613  c1 7614   caddc 7616   cmin 7926  cn0 8970  cz 9047  cuz 9319  cfz 9783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784 This theorem is referenced by:  frecfzen2  10193  hashfz1  10522
 Copyright terms: Public domain W3C validator