Theorem unsnfi 6815

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6663	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1003	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		peano2 4517	. . . . 5 |- ( n e. om -> suc n e. om )
5	4	ad2antrl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
6		simprr 522	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
7		simpl2 986	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
8		simprl 521	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
9		en2sn 6715	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ n e. om ) -> { B } ~~ { n } )
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> { B } ~~ { n } )
11		disjsn 3593	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
12	11	biimpri 132	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. A -> ( A i^i { B } ) = (/) )
13	12	3ad2ant3 1005	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
14	13	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
15		nnord 4533	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordirr 4465	. . . . . . . . 9 |- ( Ord n -> -. n e. n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> -. n e. n )
18		disjsn 3593	. . . . . . . 8 |- ( ( n i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. n )
19	17, 18	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n i^i { n } ) = (/) )
20	19	ad2antrl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n i^i { n } ) = (/) )
21		unen 6718	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ n /\ { B } ~~ { n } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( n i^i { n } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
23		df-suc 4301	. . . . 5 |- suc n = ( n u. { n } )
24	22, 23	breqtrrdi 3978	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
25		breq2 3941	. . . . 5 |- ( m = suc n -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> ( A u. { B } ) ~~ suc n ) )
26	25	rspcev 2793	. . . 4 |- ( ( suc n e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ suc n ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
27	5, 24, 26	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
28		isfi 6663	. . 3 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
29	27, 28	sylibr 133	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
30	3, 29	rexlimddv 2557	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   class class class wbr 3937   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512   ~~ cen 6640   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  unfidisj  6818  fisseneq  6828  ssfirab  6830  fnfi  6833  fidcenumlemr  6851  fsumsplitsn  11211  fsumabs  11266  fsumiun  11278  fsumcncntop  12764