Theorem unsnfi 7192

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7013	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1045	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		peano2 4722	. . . . 5 |- ( n e. om -> suc n e. om )
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
6		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
7		simpl2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
8		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
9		en2sn 7068	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ n e. om ) -> { B } ~~ { n } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> { B } ~~ { n } )
11		disjsn 3756	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. A -> ( A i^i { B } ) = (/) )
13	12	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
15		nnord 4739	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordirr 4669	. . . . . . . . 9 |- ( Ord n -> -. n e. n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> -. n e. n )
18		disjsn 3756	. . . . . . . 8 |- ( ( n i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. n )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n i^i { n } ) = (/) )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n i^i { n } ) = (/) )
21		unen 7071	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ n /\ { B } ~~ { n } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( n i^i { n } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
23		df-suc 4497	. . . . 5 |- suc n = ( n u. { n } )
24	22, 23	breqtrrdi 4156	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
25		breq2 4118	. . . . 5 |- ( m = suc n -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> ( A u. { B } ) ~~ suc n ) )
26	25	rspcev 2923	. . . 4 |- ( ( suc n e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ suc n ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
28		isfi 7013	. . 3 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
30	3, 29	rexlimddv 2667	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114   Ord word 4488   suc csuc 4491   omcom 4717   ~~ cen 6986   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  unfidisj  7195  tpfidceq  7203  fisseneq  7208  ssfirab  7210  fnfi  7216  fidcenumlemr  7238  hashmap  11217  hashfibclem  11231  fsumsplitsn  12121  fsumabs  12176  fsumiun  12188  fprodunsn  12315  fprod2dlemstep  12333  gfsump1  14108  fsumcncntop  15558  dvmptfsum  15716