Theorem unsnfi 7179

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7000	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1045	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		peano2 4717	. . . . 5 |- ( n e. om -> suc n e. om )
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
6		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
7		simpl2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
8		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
9		en2sn 7055	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ n e. om ) -> { B } ~~ { n } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> { B } ~~ { n } )
11		disjsn 3751	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. A -> ( A i^i { B } ) = (/) )
13	12	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
15		nnord 4734	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordirr 4664	. . . . . . . . 9 |- ( Ord n -> -. n e. n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> -. n e. n )
18		disjsn 3751	. . . . . . . 8 |- ( ( n i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. n )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n i^i { n } ) = (/) )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n i^i { n } ) = (/) )
21		unen 7058	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ n /\ { B } ~~ { n } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( n i^i { n } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
23		df-suc 4492	. . . . 5 |- suc n = ( n u. { n } )
24	22, 23	breqtrrdi 4151	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
25		breq2 4113	. . . . 5 |- ( m = suc n -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> ( A u. { B } ) ~~ suc n ) )
26	25	rspcev 2921	. . . 4 |- ( ( suc n e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ suc n ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
28		isfi 7000	. . 3 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
30	3, 29	rexlimddv 2665	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   u. cun 3209   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689   class class class wbr 4109   Ord word 4483   suc csuc 4486   omcom 4712   ~~ cen 6973   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  unfidisj  7182  tpfidceq  7190  fisseneq  7195  ssfirab  7197  fnfi  7203  fidcenumlemr  7225  hashmap  11192  hashfibclem  11206  fsumsplitsn  12096  fsumabs  12151  fsumiun  12163  fprodunsn  12290  fprod2dlemstep  12308  fsumcncntop  15432  dvmptfsum  15590  gfsump1  16868