ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfi Unicode version

Theorem unsnfi 6807
Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )

Proof of Theorem unsnfi
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6655 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
323ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
4 peano2 4509 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
54ad2antrl 481 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  e.  om )
6 simprr 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
7 simpl2 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  B  e.  V )
8 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  n  e.  om )
9 en2sn 6707 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  n  e.  om )  ->  { B }  ~~  { n } )
107, 8, 9syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  { B }  ~~  {
n } )
11 disjsn 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
1211biimpri 132 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  A  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
13123ad2ant3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
1413adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
15 nnord 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
16 ordirr 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  n  ->  -.  n  e.  n )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  -.  n  e.  n )
18 disjsn 3585 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  i^i  { n } )  =  (/)  <->  -.  n  e.  n )
1917, 18sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  i^i  { n } )  =  (/) )
2019ad2antrl 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( n  i^i  {
n } )  =  (/) )
21 unen 6710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~~  n  /\  { B }  ~~  { n } )  /\  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  /\  ( n  i^i 
{ n } )  =  (/) ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  (
n  u.  { n } ) )
226, 10, 14, 20, 21syl22anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  (
n  u.  { n } ) )
23 df-suc 4293 . . . . 5  |-  suc  n  =  ( n  u. 
{ n } )
2422, 23breqtrrdi 3970 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )
25 breq2 3933 . . . . 5  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( ( A  u.  { B } )  ~~  m 
<->  ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n ) )
2625rspcev 2789 . . . 4  |-  ( ( suc  n  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m )
275, 24, 26syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
28 isfi 6655 . . 3  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
2927, 28sylibr 133 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  e.  Fin )
303, 29rexlimddv 2554 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417    u. cun 3069    i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504    ~~ cen 6632   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  unfidisj  6810  fisseneq  6820  ssfirab  6822  fnfi  6825  fidcenumlemr  6843  fsumsplitsn  11186  fsumabs  11241  fsumiun  11253  fsumcncntop  12735
  Copyright terms: Public domain W3C validator