ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig Unicode version

Theorem snfig 6674
Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3556. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )

Proof of Theorem snfig
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6382 . . 3  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 6657 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 3901 . . . 4  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 2761 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 408 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 isfi 6621 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
75, 6sylibr 133 1  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   E.wrex 2392   {csn 3495   class class class wbr 3897   omcom 4472   1oc1o 6272    ~~ cen 6598   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-1o 6279  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  fiprc  6675  ssfiexmid  6736  domfiexmid  6738  diffitest  6747  unfiexmid  6772  prfidisj  6781  tpfidisj  6782  ssfii  6828  infpwfidom  7018  hashsng  10495  fihashen1  10496  hashunsng  10504  hashprg  10505  hashdifsn  10516  hashdifpr  10517  hashxp  10523  fsumsplitsnun  11139  fsum2dlemstep  11154  fisumcom2  11158  fsumconst  11174  fsumge1  11181  fsum00  11182  hash2iun1dif1  11200  phicl2  11796
  Copyright terms: Public domain W3C validator