Theorem snfig 6813

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3657. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6520	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6796	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4007	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2841	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6760	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {csn 3592   class class class wbr 4003   omcom 4589   1oc1o 6409   ~~ cen 6737   Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-1o 6416  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by:  fiprc  6814  ssfiexmid  6875  domfiexmid  6877  diffitest  6886  unfiexmid  6916  prfidisj  6925  tpfidisj  6926  ssfii  6972  infpwfidom  7196  hashsng  10777  fihashen1  10778  hashunsng  10786  hashprg  10787  hashdifsn  10798  hashdifpr  10799  hashxp  10805  fsumsplitsnun  11426  fsum2dlemstep  11441  fisumcom2  11445  fsumconst  11461  fsumge1  11468  fsum00  11469  hash2iun1dif1  11487  fprod2dlemstep  11629  fprodcom2fi  11633  fprodsplitsn  11640  fprodsplit1f  11641  phicl2  12213