Theorem snfig 6716

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3596. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6424	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6699	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 3941	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2793	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 411	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6663	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 133	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   E.wrex 2418   {csn 3532   class class class wbr 3937   omcom 4512   1oc1o 6314   ~~ cen 6640   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-1o 6321  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  fiprc  6717  ssfiexmid  6778  domfiexmid  6780  diffitest  6789  unfiexmid  6814  prfidisj  6823  tpfidisj  6824  ssfii  6870  infpwfidom  7071  hashsng  10576  fihashen1  10577  hashunsng  10585  hashprg  10586  hashdifsn  10597  hashdifpr  10598  hashxp  10604  fsumsplitsnun  11220  fsum2dlemstep  11235  fisumcom2  11239  fsumconst  11255  fsumge1  11262  fsum00  11263  hash2iun1dif1  11281  phicl2  11926