Theorem snfig 6531

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3507. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6279	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6514	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 3849	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2722	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 405	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6478	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 132	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438   E.wrex 2360   {csn 3446   class class class wbr 3845   omcom 4405   1oc1o 6174   ~~ cen 6455   Fincfn 6457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-1o 6181  df-en 6458  df-fin 6460

This theorem is referenced by:  fiprc  6532  ssfiexmid  6592  domfiexmid  6594  diffitest  6603  unfiexmid  6628  prfidisj  6637  tpfidisj  6638  infpwfidom  6824  hashsng  10206  fihashen1  10207  hashunsng  10215  hashprg  10216  hashdifsn  10227  hashdifpr  10228  hashxp  10234  fsumsplitsnun  10813  fsum2dlemstep  10828  fisumcom2  10832  fsumconst  10848  fsumge1  10855  fsum00  10856  hash2iun1dif1  10874  phicl2  11468