Theorem snfig 6930

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3708. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6629	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6912	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4063	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2884	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6875	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   E.wrex 2487   {csn 3643   class class class wbr 4059   omcom 4656   1oc1o 6518   ~~ cen 6848   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-1o 6525  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  fiprc  6931  ssfiexmid  6999  domfiexmid  7001  diffitest  7010  unfiexmid  7041  prfidisj  7050  prfidceq  7051  tpfidisj  7052  ssfii  7102  infpwfidom  7337  hashsng  10980  fihashen1  10981  hashunsng  10989  hashprg  10990  hashdifsn  11001  hashdifpr  11002  hashxp  11008  fsumsplitsnun  11845  fsum2dlemstep  11860  fisumcom2  11864  fsumconst  11880  fsumge1  11887  fsum00  11888  hash2iun1dif1  11906  fprod2dlemstep  12048  fprodcom2fi  12052  fprodsplitsn  12059  fprodsplit1f  12060  phicl2  12651  lgsquadlem2  15670