Theorem snfig 7032

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3738. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6731	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 7014	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4097	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2911	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6977	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {csn 3673   class class class wbr 4093   omcom 4694   1oc1o 6618   ~~ cen 6950   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-1o 6625  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  fiprc  7033  ssfiexmid  7106  ssfiexmidt  7108  domfiexmid  7110  diffitest  7119  eqsndc  7138  unfiexmid  7153  prfidisj  7162  prfidceq  7163  tpfidisj  7164  ssfii  7216  infpwfidom  7452  hashsng  11106  fihashen1  11107  hashunsng  11117  hashprg  11118  hashdifsn  11129  hashdifpr  11130  hashxp  11136  hashtpgim  11155  fsumsplitsnun  12043  fsum2dlemstep  12058  fisumcom2  12062  fsumconst  12078  fsumge1  12085  fsum00  12086  hash2iun1dif1  12104  fprod2dlemstep  12246  fprodcom2fi  12250  fprodsplitsn  12257  fprodsplit1f  12258  phicl2  12849  lgsquadlem2  15880  1loopgrvd2fi  16229  1loopgrvd0fi  16230  1hevtxdg0fi  16231  1hevtxdg1en  16232  p1evtxdeqfilem  16235  trlsegvdeglem7  16390  gfsumsn  16797