Theorem snfig 6814

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3658. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6521	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6797	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4008	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2842	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6761	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {csn 3593   class class class wbr 4004   omcom 4590   1oc1o 6410   ~~ cen 6738   Fincfn 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-1o 6417  df-en 6741  df-fin 6743

This theorem is referenced by:  fiprc  6815  ssfiexmid  6876  domfiexmid  6878  diffitest  6887  unfiexmid  6917  prfidisj  6926  tpfidisj  6927  ssfii  6973  infpwfidom  7197  hashsng  10778  fihashen1  10779  hashunsng  10787  hashprg  10788  hashdifsn  10799  hashdifpr  10800  hashxp  10806  fsumsplitsnun  11427  fsum2dlemstep  11442  fisumcom2  11446  fsumconst  11462  fsumge1  11469  fsum00  11470  hash2iun1dif1  11488  fprod2dlemstep  11630  fprodcom2fi  11634  fprodsplitsn  11641  fprodsplit1f  11642  phicl2  12214