Theorem snfig 6708

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3588. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6416	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6691	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 3933	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2789	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 410	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6655	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 133	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929   omcom 4504   1oc1o 6306   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  fiprc  6709  ssfiexmid  6770  domfiexmid  6772  diffitest  6781  unfiexmid  6806  prfidisj  6815  tpfidisj  6816  ssfii  6862  infpwfidom  7054  hashsng  10544  fihashen1  10545  hashunsng  10553  hashprg  10554  hashdifsn  10565  hashdifpr  10566  hashxp  10572  fsumsplitsnun  11188  fsum2dlemstep  11203  fisumcom2  11207  fsumconst  11223  fsumge1  11230  fsum00  11231  hash2iun1dif1  11249  phicl2  11890