Theorem snfig 7109

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3774. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6798	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 7090	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4135	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 7053	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {csn 3709   class class class wbr 4131   omcom 4739   1oc1o 6685   ~~ cen 7026   Fincfn 7028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-1o 6692  df-en 7029  df-fin 7031

This theorem is used by:  fiprc  7110  ssfiexmid  7184  ssfiexmidt  7186  domfiexmid  7188  diffitest  7197  eqsndc  7216  unfiexmid  7231  prfidisj  7240  prfidceq  7241  tpfidisj  7242  mapfi  7267  snopfsupp  7306  ssfii  7313  infpwfidom  7556  hashsng  11258  fihashen1  11259  hashunsng  11269  hashprg  11270  hashdifsn  11281  hashdifpr  11282  hashxp  11288  hashmap  11289  hashfibclem  11303  hashtpgim  11318  fsumsplitsnun  12210  fsum2dlemstep  12225  fisumcom2  12229  fsumconst  12245  fsumge1  12252  fsum00  12253  hash2iun1dif1  12271  fprod2dlemstep  12413  fprodcom2fi  12417  fprodsplitsn  12424  fprodsplit1f  12425  phicl2  13020  gsumsncmn  14245  idjufi  14268  gsum2d2fi  14273  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  mvrclfi  15226  lgsquadlem2  16419  1loopgrvd2fi  16768  1loopgrvd0fi  16769  1hevtxdg0fi  16770  1hevtxdg1en  16771  p1evtxdeqfilem  16774  trlsegvdeglem7  16929  wexmiddiffilem  17265  wexmiddifxy  17268