Theorem snfig 6988

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3734. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6687	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6970	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4092	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2910	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6933	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   E.wrex 2511   {csn 3669   class class class wbr 4088   omcom 4688   1oc1o 6574   ~~ cen 6906   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6581  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  fiprc  6989  ssfiexmid  7062  ssfiexmidt  7064  domfiexmid  7066  diffitest  7075  eqsndc  7094  unfiexmid  7109  prfidisj  7118  prfidceq  7119  tpfidisj  7120  ssfii  7172  infpwfidom  7408  hashsng  11059  fihashen1  11060  hashunsng  11070  hashprg  11071  hashdifsn  11082  hashdifpr  11083  hashxp  11089  fsumsplitsnun  11979  fsum2dlemstep  11994  fisumcom2  11998  fsumconst  12014  fsumge1  12021  fsum00  12022  hash2iun1dif1  12040  fprod2dlemstep  12182  fprodcom2fi  12186  fprodsplitsn  12193  fprodsplit1f  12194  phicl2  12785  lgsquadlem2  15806  1loopgrvd2fi  16155  1loopgrvd0fi  16156  1hevtxdg0fi  16157  1hevtxdg1en  16158  p1evtxdeqfilem  16161  trlsegvdeglem7  16316