Theorem snfig 6975

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3731. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6674	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6957	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4087	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2907	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6920	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   E.wrex 2509   {csn 3666   class class class wbr 4083   omcom 4682   1oc1o 6561   ~~ cen 6893   Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-1o 6568  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by:  fiprc  6976  ssfiexmid  7046  domfiexmid  7048  diffitest  7057  eqsndc  7076  unfiexmid  7091  prfidisj  7100  prfidceq  7101  tpfidisj  7102  ssfii  7152  infpwfidom  7387  hashsng  11032  fihashen1  11033  hashunsng  11042  hashprg  11043  hashdifsn  11054  hashdifpr  11055  hashxp  11061  fsumsplitsnun  11945  fsum2dlemstep  11960  fisumcom2  11964  fsumconst  11980  fsumge1  11987  fsum00  11988  hash2iun1dif1  12006  fprod2dlemstep  12148  fprodcom2fi  12152  fprodsplitsn  12159  fprodsplit1f  12160  phicl2  12751  lgsquadlem2  15772