Theorem snfig 7093

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3770. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6783	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 7074	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4129	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 7037	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {csn 3705   class class class wbr 4125   omcom 4732   1oc1o 6670   ~~ cen 7010   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-1o 6677  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  fiprc  7094  ssfiexmid  7168  ssfiexmidt  7170  domfiexmid  7172  diffitest  7181  eqsndc  7200  unfiexmid  7215  prfidisj  7224  prfidceq  7225  tpfidisj  7226  mapfi  7251  snopfsuppdc  7289  ssfii  7298  infpwfidom  7540  hashsng  11215  fihashen1  11216  hashunsng  11226  hashprg  11227  hashdifsn  11238  hashdifpr  11239  hashxp  11245  hashmap  11246  hashfibclem  11260  hashtpgim  11275  fsumsplitsnun  12164  fsum2dlemstep  12179  fisumcom2  12183  fsumconst  12199  fsumge1  12206  fsum00  12207  hash2iun1dif1  12225  fprod2dlemstep  12367  fprodcom2fi  12371  fprodsplitsn  12378  fprodsplit1f  12379  phicl2  12970  gsumsncmn  14133  lgsquadlem2  16111  1loopgrvd2fi  16460  1loopgrvd0fi  16461  1hevtxdg0fi  16462  1hevtxdg1en  16463  p1evtxdeqfilem  16466  trlsegvdeglem7  16621