Theorem snfig 6748

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3620. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6456	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 6731	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 3965	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2813	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 411	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 6695	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 133	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2125   E.wrex 2433   {csn 3556   class class class wbr 3961   omcom 4543   1oc1o 6346   ~~ cen 6672   Fincfn 6674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-1o 6353  df-en 6675  df-fin 6677

This theorem is referenced by:  fiprc  6749  ssfiexmid  6810  domfiexmid  6812  diffitest  6821  unfiexmid  6851  prfidisj  6860  tpfidisj  6861  ssfii  6907  infpwfidom  7112  hashsng  10649  fihashen1  10650  hashunsng  10658  hashprg  10659  hashdifsn  10670  hashdifpr  10671  hashxp  10677  fsumsplitsnun  11293  fsum2dlemstep  11308  fisumcom2  11312  fsumconst  11328  fsumge1  11335  fsum00  11336  hash2iun1dif1  11354  fprod2dlemstep  11496  fprodcom2fi  11500  fprodsplitsn  11507  fprodsplit1f  11508  phicl2  12058