Theorem snfig 7107

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3774. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	|- ( A e. V -> { A } e. Fin )

Proof of Theorem snfig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6797	. . 3 |- 1o e. om
2		ensn1g 7088	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
3		breq2 4135	. . . 4 |- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) )
4	3	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( 1o e. om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. om { A } ~~ x )
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 |- ( A e. V -> E. x e. om { A } ~~ x )
6		isfi 7051	. 2 |- ( { A } e. Fin <-> E. x e. om { A } ~~ x )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {csn 3709   class class class wbr 4131   omcom 4739   1oc1o 6684   ~~ cen 7024   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-1o 6691  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  fiprc  7108  ssfiexmid  7182  ssfiexmidt  7184  domfiexmid  7186  diffitest  7195  eqsndc  7214  unfiexmid  7229  prfidisj  7238  prfidceq  7239  tpfidisj  7240  mapfi  7265  snopfsuppdc  7304  ssfii  7313  infpwfidom  7556  hashsng  11259  fihashen1  11260  hashunsng  11270  hashprg  11271  hashdifsn  11282  hashdifpr  11283  hashxp  11289  hashmap  11290  hashfibclem  11304  hashtpgim  11319  fsumsplitsnun  12211  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fsumconst  12246  fsumge1  12253  fsum00  12254  hash2iun1dif1  12272  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  fprodsplitsn  12425  fprodsplit1f  12426  phicl2  13021  gsumsncmn  14246  idjufi  14269  gsum2d2fi  14274  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  lgsquadlem2  16402  1loopgrvd2fi  16751  1loopgrvd0fi  16752  1hevtxdg0fi  16753  1hevtxdg1en  16754  p1evtxdeqfilem  16757  trlsegvdeglem7  16912  wexmiddiffilem  17248  wexmiddifxy  17251