Theorem hashsng 10778

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	|- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9279	. . . 4 |- 1 e. ZZ
2		en2sn 6813	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ 1 e. ZZ ) -> { A } ~~ { 1 } )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ { 1 } )
4		snfig 6814	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
5		snfig 6814	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> { 1 } e. Fin )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- { 1 } e. Fin
7		hashen 10764	. . . 4 |- ( ( { A } e. Fin /\ { 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) <-> { A } ~~ { 1 } ) )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. V -> ( (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) <-> { A } ~~ { 1 } ) )
9	3, 8	mpbird 167	. 2 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) )
10		fzsn 10066	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	10	fveq2d 5520	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = (♯ ` { 1 } ) )
12		1nn0 9192	. . . . 5 |- 1 e. NN0
13		hashfz1 10763	. . . . 5 |- ( 1 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = 1 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = 1
15	11, 14	eqtr3di 2225	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
17	9, 16	eqtrdi 2226	1 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3593   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   ~~ cen 6738   Fincfn 6740   1c1 7812   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ...cfz 10008  ♯chash 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-ihash 10756

This theorem is referenced by:  fihashen1  10779  hashunsng  10787  hashprg  10788  hashdifsn  10799  fsumconst  11462  phicl2  12214  dfphi2  12220