ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashsng Unicode version

Theorem hashsng 10726
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( `  { A } )  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 9231 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 6789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 423 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfig 6790 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
5 snfig 6790 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  { 1 }  e.  Fin )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
7 hashen 10711 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( `  { A } )  =  ( `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  {
1 } ) )
84, 6, 7sylancl 411 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( `  { A }
)  =  ( `  {
1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
93, 8mpbird 166 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `  { A } )  =  ( `  {
1 } ) )
10 fzsn 10015 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1110fveq2d 5498 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( `  ( 1 ... 1
) )  =  ( `  { 1 } ) )
12 1nn0 9144 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
13 hashfz1 10710 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... 1 ) )  =  1 )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `  (
1 ... 1 ) )  =  1
1511, 14eqtr3di 2218 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( `  { 1 } )  =  1 )
161, 15ax-mp 5 . 2  |-  ( `  {
1 } )  =  1
179, 16eqtrdi 2219 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( `  { A } )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   {csn 3581   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851    ~~ cen 6714   Fincfn 6716   1c1 7768   NN0cn0 9128   ZZcz 9205   ...cfz 9958  ♯chash 10702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-ihash 10703
This theorem is referenced by:  fihashen1  10727  hashunsng  10735  hashprg  10736  hashdifsn  10747  fsumconst  11410  phicl2  12161  dfphi2  12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator