Theorem hashsng 10892

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	|- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9354	. . . 4 |- 1 e. ZZ
2		en2sn 6873	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ 1 e. ZZ ) -> { A } ~~ { 1 } )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> { A } ~~ { 1 } )
4		snfig 6874	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
5		snfig 6874	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> { 1 } e. Fin )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- { 1 } e. Fin
7		hashen 10878	. . . 4 |- ( ( { A } e. Fin /\ { 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) <-> { A } ~~ { 1 } ) )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. V -> ( (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) <-> { A } ~~ { 1 } ) )
9	3, 8	mpbird 167	. 2 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = (♯ ` { 1 } ) )
10		fzsn 10143	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
11	10	fveq2d 5563	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = (♯ ` { 1 } ) )
12		1nn0 9267	. . . . 5 |- 1 e. NN0
13		hashfz1 10877	. . . . 5 |- ( 1 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = 1 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 1 ) ) = 1
15	11, 14	eqtr3di 2244	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> (♯ ` { 1 } ) = 1 )
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 |- (♯ ` { 1 } ) = 1
17	9, 16	eqtrdi 2245	1 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3623   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ~~ cen 6798   Fincfn 6800   1c1 7882   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ...cfz 10085  ♯chash 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-ihash 10870

This theorem is referenced by:  fihashen1  10893  hashunsng  10901  hashprg  10902  hashdifsn  10913  fsumconst  11621  phicl2  12392  dfphi2  12398