Theorem en2sn 6993

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 6976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
2		ensn1g 6976	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
3	2	ensymd 6962	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1o ≈ {𝐵})
4		entr 6963	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201  {csn 3670   class class class wbr 4089  1_oc1o 6580   ≈ cen 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-suc 4470  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-1o 6587  df-er 6707  df-en 6915

This theorem is referenced by:  enpr2d  7002  fiunsnnn  7075  unsnfi  7116  frecfzennn  10694  hashsng  11066