ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2sn GIF version

Theorem en2sn 6715
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 6699 . 2 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
2 ensn1g 6699 . . 3 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
32ensymd 6685 . 2 (𝐵𝐷 → 1o ≈ {𝐵})
4 entr 6686 . 2 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
51, 3, 4syl2an 287 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  {csn 3532   class class class wbr 3937  1oc1o 6314  cen 6640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643
This theorem is referenced by:  enpr2d  6719  fiunsnnn  6783  unsnfi  6815  frecfzennn  10230  hashsng  10576
  Copyright terms: Public domain W3C validator