Theorem en2sn 6936

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 6919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
2		ensn1g 6919	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
3	2	ensymd 6905	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1o ≈ {𝐵})
4		entr 6906	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2180  {csn 3646   class class class wbr 4062  1_oc1o 6525   ≈ cen 6855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-suc 4439  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-1o 6532  df-er 6650  df-en 6858

This theorem is referenced by:  enpr2d  6942  fiunsnnn  7011  unsnfi  7049  frecfzennn  10615  hashsng  10987