Theorem en2sn 6912

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 6896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
2		ensn1g 6896	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
3	2	ensymd 6882	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1o ≈ {𝐵})
4		entr 6883	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  {csn 3634   class class class wbr 4047  1_oc1o 6502   ≈ cen 6832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-suc 4422  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835

This theorem is referenced by:  enpr2d  6918  fiunsnnn  6985  unsnfi  7023  frecfzennn  10578  hashsng  10950