ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2sn GIF version

Theorem en2sn 6476
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 6460 . 2 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2 ensn1g 6460 . . 3 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
32ensymd 6446 . 2 (𝐵𝐷 → 1𝑜 ≈ {𝐵})
4 entr 6447 . 2 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
51, 3, 4syl2an 283 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  {csn 3431   class class class wbr 3820  1𝑜c1o 6122  cen 6401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4093  df-suc 4171  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-1o 6129  df-er 6238  df-en 6404
This theorem is referenced by:  fiunsnnn  6543  unsnfi  6575  frecfzennn  9754  hashsng  10095
  Copyright terms: Public domain W3C validator