Theorem enq0ex 7359

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	|- ~Q0 e. _V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4552	. . . 4 |- om e. _V
2		niex 7232	. . . 4 |- N. e. _V
3	1, 2	xpex 4701	. . 3 |- ( om X. N. ) e. _V
4	3, 3	xpex 4701	. 2 |- ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) ) e. _V
5		df-enq0 7344	. . 3 |- ~Q0 = { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) }
6		opabssxp 4660	. . 3 |- { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) } C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
7	5, 6	eqsstri 3160	. 2 |- ~Q0 C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
8	4, 7	ssexi 4102	1 |- ~Q0 e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   <.cop 3563   {copab 4024   omcom 4549   X. cxp 4584  (class class class)co 5824   .o comu 6361   N.cnpi 7192   ~_Q0 ceq0 7206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-opab 4026  df-iom 4550  df-xp 4592  df-ni 7224  df-enq0 7344

This theorem is referenced by:  nqnq0  7361  addnnnq0  7369  mulnnnq0  7370  addclnq0  7371  mulclnq0  7372  prarloclemcalc  7422