ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ex Unicode version

Theorem enq0ex 7401
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ex  |- ~Q0  e.  _V

Proof of Theorem enq0ex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4577 . . . 4  |-  om  e.  _V
2 niex 7274 . . . 4  |-  N.  e.  _V
31, 2xpex 4726 . . 3  |-  ( om 
X.  N. )  e.  _V
43, 3xpex 4726 . 2  |-  ( ( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )  e.  _V
5 df-enq0 7386 . . 3  |- ~Q0  =  { <. v ,  u >.  |  (
( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }
6 opabssxp 4685 . . 3  |-  { <. v ,  u >.  |  ( ( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }  C_  (
( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
75, 6eqsstri 3179 . 2  |- ~Q0 
C_  ( ( om 
X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
84, 7ssexi 4127 1  |- ~Q0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   {copab 4049   omcom 4574    X. cxp 4609  (class class class)co 5853    .o comu 6393   N.cnpi 7234   ~Q0 ceq0 7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-opab 4051  df-iom 4575  df-xp 4617  df-ni 7266  df-enq0 7386
This theorem is referenced by:  nqnq0  7403  addnnnq0  7411  mulnnnq0  7412  addclnq0  7413  mulclnq0  7414  prarloclemcalc  7464
  Copyright terms: Public domain W3C validator