Theorem enq0ex 7380

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	|- ~Q0 e. _V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4570	. . . 4 |- om e. _V
2		niex 7253	. . . 4 |- N. e. _V
3	1, 2	xpex 4719	. . 3 |- ( om X. N. ) e. _V
4	3, 3	xpex 4719	. 2 |- ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) ) e. _V
5		df-enq0 7365	. . 3 |- ~Q0 = { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) }
6		opabssxp 4678	. . 3 |- { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) } C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
7	5, 6	eqsstri 3174	. 2 |- ~Q0 C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
8	4, 7	ssexi 4120	1 |- ~Q0 e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   <.cop 3579   {copab 4042   omcom 4567   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   .o comu 6382   N.cnpi 7213   ~_Q0 ceq0 7227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-opab 4044  df-iom 4568  df-xp 4610  df-ni 7245  df-enq0 7365

This theorem is referenced by:  nqnq0  7382  addnnnq0  7390  mulnnnq0  7391  addclnq0  7392  mulclnq0  7393  prarloclemcalc  7443