Theorem enq0ex 7552

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	|- ~Q0 e. _V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4641	. . . 4 |- om e. _V
2		niex 7425	. . . 4 |- N. e. _V
3	1, 2	xpex 4790	. . 3 |- ( om X. N. ) e. _V
4	3, 3	xpex 4790	. 2 |- ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) ) e. _V
5		df-enq0 7537	. . 3 |- ~Q0 = { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) }
6		opabssxp 4749	. . 3 |- { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) } C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
7	5, 6	eqsstri 3225	. 2 |- ~Q0 C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
8	4, 7	ssexi 4182	1 |- ~Q0 e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   {copab 4104   omcom 4638   X. cxp 4673  (class class class)co 5944   .o comu 6500   N.cnpi 7385   ~_Q0 ceq0 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-opab 4106  df-iom 4639  df-xp 4681  df-ni 7417  df-enq0 7537

This theorem is referenced by:  nqnq0  7554  addnnnq0  7562  mulnnnq0  7563  addclnq0  7564  mulclnq0  7565  prarloclemcalc  7615