ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ex Unicode version

Theorem enq0ex 7437
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ex  |- ~Q0  e.  _V

Proof of Theorem enq0ex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4592 . . . 4  |-  om  e.  _V
2 niex 7310 . . . 4  |-  N.  e.  _V
31, 2xpex 4741 . . 3  |-  ( om 
X.  N. )  e.  _V
43, 3xpex 4741 . 2  |-  ( ( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )  e.  _V
5 df-enq0 7422 . . 3  |- ~Q0  =  { <. v ,  u >.  |  (
( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }
6 opabssxp 4700 . . 3  |-  { <. v ,  u >.  |  ( ( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }  C_  (
( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
75, 6eqsstri 3187 . 2  |- ~Q0 
C_  ( ( om 
X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
84, 7ssexi 4141 1  |- ~Q0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   {copab 4063   omcom 4589    X. cxp 4624  (class class class)co 5874    .o comu 6414   N.cnpi 7270   ~Q0 ceq0 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-opab 4065  df-iom 4590  df-xp 4632  df-ni 7302  df-enq0 7422
This theorem is referenced by:  nqnq0  7439  addnnnq0  7447  mulnnnq0  7448  addclnq0  7449  mulclnq0  7450  prarloclemcalc  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator