ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ex Unicode version

Theorem enq0ex 6977
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ex  |- ~Q0  e.  _V

Proof of Theorem enq0ex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4398 . . . 4  |-  om  e.  _V
2 niex 6850 . . . 4  |-  N.  e.  _V
31, 2xpex 4541 . . 3  |-  ( om 
X.  N. )  e.  _V
43, 3xpex 4541 . 2  |-  ( ( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )  e.  _V
5 df-enq0 6962 . . 3  |- ~Q0  =  { <. v ,  u >.  |  (
( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }
6 opabssxp 4500 . . 3  |-  { <. v ,  u >.  |  ( ( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }  C_  (
( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
75, 6eqsstri 3054 . 2  |- ~Q0 
C_  ( ( om 
X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
84, 7ssexi 3969 1  |- ~Q0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444   {copab 3890   omcom 4395    X. cxp 4426  (class class class)co 5634    .o comu 6161   N.cnpi 6810   ~Q0 ceq0 6824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-opab 3892  df-iom 4396  df-xp 4434  df-ni 6842  df-enq0 6962
This theorem is referenced by:  nqnq0  6979  addnnnq0  6987  mulnnnq0  6988  addclnq0  6989  mulclnq0  6990  prarloclemcalc  7040
  Copyright terms: Public domain W3C validator