ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ex Unicode version

Theorem enq0ex 7240
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ex  |- ~Q0  e.  _V

Proof of Theorem enq0ex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4502 . . . 4  |-  om  e.  _V
2 niex 7113 . . . 4  |-  N.  e.  _V
31, 2xpex 4649 . . 3  |-  ( om 
X.  N. )  e.  _V
43, 3xpex 4649 . 2  |-  ( ( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )  e.  _V
5 df-enq0 7225 . . 3  |- ~Q0  =  { <. v ,  u >.  |  (
( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }
6 opabssxp 4608 . . 3  |-  { <. v ,  u >.  |  ( ( v  e.  ( om  X.  N. )  /\  u  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. x E. y E. z E. w
( ( v  = 
<. x ,  y >.  /\  u  =  <. z ,  w >. )  /\  ( x  .o  w
)  =  ( y  .o  z ) ) ) }  C_  (
( om  X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
75, 6eqsstri 3124 . 2  |- ~Q0 
C_  ( ( om 
X.  N. )  X.  ( om  X.  N. ) )
84, 7ssexi 4061 1  |- ~Q0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   {copab 3983   omcom 4499    X. cxp 4532  (class class class)co 5767    .o comu 6304   N.cnpi 7073   ~Q0 ceq0 7087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-opab 3985  df-iom 4500  df-xp 4540  df-ni 7105  df-enq0 7225
This theorem is referenced by:  nqnq0  7242  addnnnq0  7250  mulnnnq0  7251  addclnq0  7252  mulclnq0  7253  prarloclemcalc  7303
  Copyright terms: Public domain W3C validator