Theorem mulclnq0 7585

Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. Q0 )

Proof of Theorem mulclnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7558	. . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5964	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	2	eleq1d 2275	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5965	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
5	4	eleq1d 2275	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6		mulnnnq0 7583	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7		nnmcl 6580	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) e. om )
8		mulpiord 7450	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
9		mulclpi 7461	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	8, 9	eqeltrrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
11	7, 10	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ z e. om ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
12	11	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
13		opelxpi 4715	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
14		enq0ex 7572	. . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
15	14	ecelqsi 6689	. . . . 5 |- ( <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
16	12, 13, 15	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17	6, 16	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
18	1, 3, 5, 17	2ecoptocl 6723	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
19	18, 1	eleqtrrdi 2300	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641   omcom 4646   X. cxp 4681  (class class class)co 5957   .o comu 6513   [cec 6631   /.cqs 6632   N.cnpi 7405   .N cmi 7407   ~_Q0 ceq0 7419  Q₀cnq0 7420   ·_Q0 cmq0 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-mi 7439  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-mq0 7561

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7635