Theorem mulclnq0 7442

Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. Q0 )

Proof of Theorem mulclnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7415	. . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5876	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	2	eleq1d 2246	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5877	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
5	4	eleq1d 2246	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6		mulnnnq0 7440	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7		nnmcl 6476	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) e. om )
8		mulpiord 7307	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
9		mulclpi 7318	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	8, 9	eqeltrrd 2255	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
11	7, 10	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ z e. om ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
12	11	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
13		opelxpi 4655	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
14		enq0ex 7429	. . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
15	14	ecelqsi 6583	. . . . 5 |- ( <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
16	12, 13, 15	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17	6, 16	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
18	1, 3, 5, 17	2ecoptocl 6617	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
19	18, 1	eleqtrrdi 2271	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) e. Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3594   omcom 4586   X. cxp 4621  (class class class)co 5869   .o comu 6409   [cec 6527   /.cqs 6528   N.cnpi 7262   .N cmi 7264   ~_Q0 ceq0 7276  Q₀cnq0 7277   ·_Q0 cmq0 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-mq0 7418

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7492