ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq0 Unicode version

Theorem mulclnq0 7011
Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  e. Q0 )

Proof of Theorem mulclnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6984 . . 3  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5659 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
32eleq1d 2156 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
4 oveq2 5660 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
54eleq1d 2156 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A ·Q0 
B )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
6 mulnnnq0 7009 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
7 nnmcl 6242 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  e.  om )
8 mulpiord 6876 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
9 mulclpi 6887 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
108, 9eqeltrrd 2165 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
117, 10anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
1211an4s 555 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
13 opelxpi 4469 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .o  z
)  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( x  .o  z
) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. ) )
14 enq0ex 6998 . . . . . 6  |- ~Q0  e.  _V
1514ecelqsi 6346 . . . . 5  |-  ( <.
( x  .o  z
) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
1612, 13, 153syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
176, 16eqeltrd 2164 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
181, 3, 5, 172ecoptocl 6380 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
1918, 1syl6eleqr 2181 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  e. Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   omcom 4405    X. cxp 4436  (class class class)co 5652    .o comu 6179   [cec 6290   /.cqs 6291   N.cnpi 6831    .N cmi 6833   ~Q0 ceq0 6845  Q0cnq0 6846   ·Q0 cmq0 6849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-mi 6865  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-mq0 6987
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator