Theorem enq0ex 7371

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4564	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		niex 7244	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4713	. . 3 ⊢ (ω × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4713	. 2 ⊢ ((ω × N) × (ω × N)) ∈ V
5		df-enq0 7356	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))}
6		opabssxp 4672	. . 3 ⊢ {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))} ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
7	5, 6	eqsstri 3169	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
8	4, 7	ssexi 4114	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1342  ∃wex 1479   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721  ⟨cop 3573  {copab 4036  ωcom 4561   × cxp 4596  (class class class)co 5836   ·_o comu 6373  Ncnpi 7204   ~_Q0 ceq0 7218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-opab 4038  df-iom 4562  df-xp 4604  df-ni 7236  df-enq0 7356

This theorem is referenced by:  nqnq0  7373  addnnnq0  7381  mulnnnq0  7382  addclnq0  7383  mulclnq0  7384  prarloclemcalc  7434