Theorem enq0ex 7440

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4594	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		niex 7313	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4743	. . 3 ⊢ (ω × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4743	. 2 ⊢ ((ω × N) × (ω × N)) ∈ V
5		df-enq0 7425	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))}
6		opabssxp 4702	. . 3 ⊢ {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))} ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
7	5, 6	eqsstri 3189	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
8	4, 7	ssexi 4143	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ⟨cop 3597  {copab 4065  ωcom 4591   × cxp 4626  (class class class)co 5877   ·_o comu 6417  Ncnpi 7273   ~_Q0 ceq0 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-opab 4067  df-iom 4592  df-xp 4634  df-ni 7305  df-enq0 7425

This theorem is referenced by:  nqnq0  7442  addnnnq0  7450  mulnnnq0  7451  addclnq0  7452  mulclnq0  7453  prarloclemcalc  7503