Theorem enq0ex 7240

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4502	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		niex 7113	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4649	. . 3 ⊢ (ω × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4649	. 2 ⊢ ((ω × N) × (ω × N)) ∈ V
5		df-enq0 7225	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))}
6		opabssxp 4608	. . 3 ⊢ {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))} ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
7	5, 6	eqsstri 3124	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
8	4, 7	ssexi 4061	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  ⟨cop 3525  {copab 3983  ωcom 4499   × cxp 4532  (class class class)co 5767   ·_o comu 6304  Ncnpi 7073   ~_Q0 ceq0 7087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-opab 3985  df-iom 4500  df-xp 4540  df-ni 7105  df-enq0 7225

This theorem is referenced by:  nqnq0  7242  addnnnq0  7250  mulnnnq0  7251  addclnq0  7252  mulclnq0  7253  prarloclemcalc  7303