Theorem enq0ex 7567

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4648	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		niex 7440	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4797	. . 3 ⊢ (ω × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4797	. 2 ⊢ ((ω × N) × (ω × N)) ∈ V
5		df-enq0 7552	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))}
6		opabssxp 4756	. . 3 ⊢ {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·o 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑧)))} ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
7	5, 6	eqsstri 3229	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
8	4, 7	ssexi 4189	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ⟨cop 3640  {copab 4111  ωcom 4645   × cxp 4680  (class class class)co 5956   ·_o comu 6512  Ncnpi 7400   ~_Q0 ceq0 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-iinf 4643

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-opab 4113  df-iom 4646  df-xp 4688  df-ni 7432  df-enq0 7552

This theorem is referenced by:  nqnq0  7569  addnnnq0  7577  mulnnnq0  7578  addclnq0  7579  mulclnq0  7580  prarloclemcalc  7630