Theorem xpex 4790

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	|- A e. _V
xpex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpex	|- ( A X. B ) e. _V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 |- A e. _V
2		xpex.2	. 2 |- B e. _V
3		xpexg 4789	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( A X. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   X. cxp 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-opab 4106  df-xp 4681

This theorem is referenced by:  oprabex  6213  oprabex3  6214  mpoexw  6299  fnpm  6743  mapsnf1o2  6783  xpsnen  6916  endisj  6919  xpcomen  6922  xpassen  6925  xpmapenlem  6946  0ct  7209  exmidomni  7244  exmidfodomrlemim  7309  2omotaplemst  7370  enqex  7473  nqex  7476  enq0ex  7552  nq0ex  7553  npex  7586  enrex  7850  addvalex  7957  axcnex  7972  addex  9773  mulex  9774  ixxex  10021  fxnn0nninf  10584  inftonninf  10587  shftfval  11132  nninfct  12362  qnumval  12507  qdenval  12508  qnnen  12802  prdsex  13101  metuex  14317  cnfldstr  14320  cnfldle  14329  znval  14398  znle  14399  znbaslemnn  14401  fnpsr  14429  txuni2  14728  txbas  14730  eltx  14731  txcnp  14743  txcnmpt  14745  txrest  14748  txlm  14751  reldvg  15151