Theorem xpex 4891

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	|- A e. _V
xpex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpex	|- ( A X. B ) e. _V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 |- A e. _V
2		xpex.2	. 2 |- B e. _V
3		xpexg 4889	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 |- ( A X. B ) e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  oprabex  6361  oprabex3  6362  mpoexw  6449  fnpm  6930  mapsnf1o2  6978  xpsnen  7119  endisj  7122  xpcomen  7125  xpassen  7128  xpmapenlem  7149  0ct  7447  exmidomni  7482  exmidfodomrlemim  7553  2omotaplemst  7624  enqex  7727  nqex  7730  enq0ex  7806  nq0ex  7807  npex  7840  enrex  8104  addvalex  8211  axcnex  8226  addex  10052  mulex  10053  ixxex  10301  fxnn0nninf  10876  inftonninf  10879  shftfval  11586  nninfct  12818  qnumval  12963  qdenval  12964  qnnen  13322  prdsex  14172  metuex  14892  cnfldstr  14895  cnfldle  14904  znval  14971  znle  14972  znbaslemnn  14974  fnpsr  15051  txuni2  15357  txbas  15359  eltx  15360  txcnp  15372  txcnmpt  15374  txrest  15377  txlm  15380  reldvg  15780  pellexlem3  16093