Theorem xpex 4775

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	|- A e. _V
xpex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpex	|- ( A X. B ) e. _V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 |- A e. _V
2		xpex.2	. 2 |- B e. _V
3		xpexg 4774	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( A X. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   X. cxp 4658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-opab 4092  df-xp 4666

This theorem is referenced by:  oprabex  6182  oprabex3  6183  mpoexw  6268  fnpm  6712  mapsnf1o2  6752  xpsnen  6877  endisj  6880  xpcomen  6883  xpassen  6886  xpmapenlem  6907  0ct  7168  exmidomni  7203  exmidfodomrlemim  7263  2omotaplemst  7320  enqex  7422  nqex  7425  enq0ex  7501  nq0ex  7502  npex  7535  enrex  7799  addvalex  7906  axcnex  7921  addex  9720  mulex  9721  ixxex  9968  fxnn0nninf  10513  inftonninf  10516  shftfval  10968  nninfct  12181  qnumval  12326  qdenval  12327  qnnen  12591  prdsex  12883  metuex  14054  cnfldstr  14057  cnfldle  14066  znval  14135  znle  14136  znbaslemnn  14138  fnpsr  14164  txuni2  14435  txbas  14437  eltx  14438  txcnp  14450  txcnmpt  14452  txrest  14455  txlm  14458  reldvg  14858