Theorem xpex 4789

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	|- A e. _V
xpex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpex	|- ( A X. B ) e. _V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 |- A e. _V
2		xpex.2	. 2 |- B e. _V
3		xpexg 4788	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( A X. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   X. cxp 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-opab 4105  df-xp 4680

This theorem is referenced by:  oprabex  6212  oprabex3  6213  mpoexw  6298  fnpm  6742  mapsnf1o2  6782  xpsnen  6915  endisj  6918  xpcomen  6921  xpassen  6924  xpmapenlem  6945  0ct  7208  exmidomni  7243  exmidfodomrlemim  7308  2omotaplemst  7369  enqex  7472  nqex  7475  enq0ex  7551  nq0ex  7552  npex  7585  enrex  7849  addvalex  7956  axcnex  7971  addex  9772  mulex  9773  ixxex  10020  fxnn0nninf  10582  inftonninf  10585  shftfval  11103  nninfct  12333  qnumval  12478  qdenval  12479  qnnen  12773  prdsex  13072  metuex  14288  cnfldstr  14291  cnfldle  14300  znval  14369  znle  14370  znbaslemnn  14372  fnpsr  14400  txuni2  14699  txbas  14701  eltx  14702  txcnp  14714  txcnmpt  14716  txrest  14719  txlm  14722  reldvg  15122