Theorem addclnq0 7283

Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7257	. . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5789	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	2	eleq1d 2209	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5790	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
5	4	eleq1d 2209	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6		addnnnq0 7281	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7		pinn 7141	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> w e. om )
8		nnmcl 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ w e. om ) -> ( x .o w ) e. om )
9	7, 8	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. om )
10		pinn 7141	. . . . . . . . 9 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		nnmcl 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
12	10, 11	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
13		nnacl 6384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .o w ) e. om /\ ( y .o z ) e. om ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
14	9, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
15	14	an42s 579	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
16		mulpiord 7149	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
17		mulclpi 7160	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
18	16, 17	eqeltrrd 2218	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
19	18	ad2ant2l 500	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
20	15, 19	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
21		opelxpi 4579	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7271	. . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6491	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
25	6, 24	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6525	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27	26, 1	eleqtrrdi 2234	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   <.cop 3535   omcom 4512   X. cxp 4545  (class class class)co 5782   +o coa 6318   .o comu 6319   [cec 6435   /.cqs 6436   N.cnpi 7104   .N cmi 7106   ~_Q0 ceq0 7118  Q₀cnq0 7119   +_Q0 cplq0 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-plq0 7259

This theorem is referenced by:  distnq0r  7295  prarloclemcalc  7334