ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 Unicode version

Theorem addclnq0 7384
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e. Q0 )

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7358 . . 3  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5844 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
32eleq1d 2233 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
4 oveq2 5845 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  B ) )
54eleq1d 2233 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A +Q0  B )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
6 addnnnq0 7382 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
7 pinn 7242 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
8 nnmcl 6441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( x  .o  w
)  e.  om )
97, 8sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .o  w
)  e.  om )
10 pinn 7242 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 nnmcl 6441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
1210, 11sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
13 nnacl 6440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .o  w
)  e.  om  /\  ( y  .o  z
)  e.  om )  ->  ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  om )
149, 12, 13syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
om )
1514an42s 579 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
om )
16 mulpiord 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
17 mulclpi 7261 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
1816, 17eqeltrrd 2242 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
1918ad2ant2l 500 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  e.  N. )
2015, 19jca 304 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
21 opelxpi 4631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. ) )
22 enq0ex 7372 . . . . . 6  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6547 . . . . 5  |-  ( <.
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
2420, 21, 233syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
256, 24eqeltrd 2241 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
261, 3, 5, 252ecoptocl 6581 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
2726, 1eleqtrrdi 2258 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e. Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135   <.cop 3574   omcom 4562    X. cxp 4597  (class class class)co 5837    +o coa 6373    .o comu 6374   [cec 6491   /.cqs 6492   N.cnpi 7205    .N cmi 7207   ~Q0 ceq0 7219  Q0cnq0 7220   +Q0 cplq0 7222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-irdg 6330  df-oadd 6380  df-omul 6381  df-er 6493  df-ec 6495  df-qs 6499  df-ni 7237  df-mi 7239  df-enq0 7357  df-nq0 7358  df-plq0 7360
This theorem is referenced by:  distnq0r  7396  prarloclemcalc  7435
  Copyright terms: Public domain W3C validator