Theorem addclnq0 7714

Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7688	. . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 6035	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	2	eleq1d 2300	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4		oveq2 6036	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
5	4	eleq1d 2300	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6		addnnnq0 7712	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7		pinn 7572	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> w e. om )
8		nnmcl 6692	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ w e. om ) -> ( x .o w ) e. om )
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. om )
10		pinn 7572	. . . . . . . . 9 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		nnmcl 6692	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
12	10, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
13		nnacl 6691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .o w ) e. om /\ ( y .o z ) e. om ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
14	9, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
15	14	an42s 593	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
16		mulpiord 7580	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
17		mulclpi 7591	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
18	16, 17	eqeltrrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
20	15, 19	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
21		opelxpi 4763	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7702	. . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6801	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
25	6, 24	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6835	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27	26, 1	eleqtrrdi 2325	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   omcom 4694   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   +o coa 6622   .o comu 6623   [cec 6743   /.cqs 6744   N.cnpi 7535   .N cmi 7537   ~_Q0 ceq0 7549  Q₀cnq0 7550   +_Q0 cplq0 7552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-plq0 7690

This theorem is referenced by:  distnq0r  7726  prarloclemcalc  7765