ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 Unicode version
Theorem addclnq0 7571
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )
Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7545 . . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq1 5958 . . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
32eleq1d 2275 . . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4 oveq2 5959 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
54eleq1d 2275 . . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6 addnnnq0 7569 . . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7 pinn 7429 . . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> w e. om )
8 nnmcl 6574 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ w e. om ) -> ( x .o w ) e. om )
97, 8sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. om )
10 pinn 7429 . . . . . . . . 9 |- ( y e. N. -> y e. om )
11 nnmcl 6574 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
1210, 11sylan 283 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
13 nnacl 6573 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .o w ) e. om /\ ( y .o z ) e. om ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
149, 12, 13syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
1514an42s 589 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
16 mulpiord 7437 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
17 mulclpi 7448 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
1816, 17eqeltrrd 2284 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
1918ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
2015, 19jca 306 . . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
21 opelxpi 4711 . . . . 5 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
22 enq0ex 7559 . . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
2322ecelqsi 6683 . . . . 5 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
256, 24eqeltrd 2283 . . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
261, 3, 5, 252ecoptocl 6717 . 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
2726, 1eleqtrrdi 2300 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3637   omcom 4642   X. cxp 4677  (class class class)co 5951   +o coa 6506   .o comu 6507   [cec 6625   /.cqs 6626   N.cnpi 7392   .N cmi 7394   ~Q0 ceq0 7406  Q0cnq0 7407   +Q0 cplq0 7409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-plq0 7547
This theorem is referenced by:  distnq0r  7583  prarloclemcalc  7622
  Copyright terms: Public domain W3C validator