ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 Unicode version
Theorem addclnq0 7671
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )
Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7645 . . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq1 6025 . . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
32eleq1d 2300 . . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4 oveq2 6026 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
54eleq1d 2300 . . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6 addnnnq0 7669 . . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7 pinn 7529 . . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> w e. om )
8 nnmcl 6649 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ w e. om ) -> ( x .o w ) e. om )
97, 8sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. om )
10 pinn 7529 . . . . . . . . 9 |- ( y e. N. -> y e. om )
11 nnmcl 6649 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
1210, 11sylan 283 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
13 nnacl 6648 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .o w ) e. om /\ ( y .o z ) e. om ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
149, 12, 13syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
1514an42s 593 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
16 mulpiord 7537 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
17 mulclpi 7548 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
1816, 17eqeltrrd 2309 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
1918ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
2015, 19jca 306 . . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
21 opelxpi 4757 . . . . 5 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
22 enq0ex 7659 . . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
2322ecelqsi 6758 . . . . 5 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
256, 24eqeltrd 2308 . . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
261, 3, 5, 252ecoptocl 6792 . 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
2726, 1eleqtrrdi 2325 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   omcom 4688   X. cxp 4723  (class class class)co 6018   +o coa 6579   .o comu 6580   [cec 6700   /.cqs 6701   N.cnpi 7492   .N cmi 7494   ~Q0 ceq0 7506  Q0cnq0 7507   +Q0 cplq0 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-mi 7526  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-plq0 7647
This theorem is referenced by:  distnq0r  7683  prarloclemcalc  7722
  Copyright terms: Public domain W3C validator