ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 Unicode version

Theorem addclnq0 7252
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e. Q0 )

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7226 . . 3  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5774 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
32eleq1d 2206 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
4 oveq2 5775 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  B ) )
54eleq1d 2206 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <-> 
( A +Q0  B )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
6 addnnnq0 7250 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
7 pinn 7110 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
8 nnmcl 6370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( x  .o  w
)  e.  om )
97, 8sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .o  w
)  e.  om )
10 pinn 7110 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 nnmcl 6370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
1210, 11sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
13 nnacl 6369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .o  w
)  e.  om  /\  ( y  .o  z
)  e.  om )  ->  ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  om )
149, 12, 13syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
om )
1514an42s 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
om )
16 mulpiord 7118 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
17 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
1816, 17eqeltrrd 2215 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
1918ad2ant2l 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  e.  N. )
2015, 19jca 304 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
21 opelxpi 4566 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. ) )
22 enq0ex 7240 . . . . . 6  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6476 . . . . 5  |-  ( <.
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
2420, 21, 233syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
256, 24eqeltrd 2214 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
261, 3, 5, 252ecoptocl 6510 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
2726, 1eleqtrrdi 2231 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e. Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525   omcom 4499    X. cxp 4532  (class class class)co 5767    +o coa 6303    .o comu 6304   [cec 6420   /.cqs 6421   N.cnpi 7073    .N cmi 7075   ~Q0 ceq0 7087  Q0cnq0 7088   +Q0 cplq0 7090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-plq0 7228
This theorem is referenced by:  distnq0r  7264  prarloclemcalc  7303
  Copyright terms: Public domain W3C validator