Theorem djudoml 7581

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 7393	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
2	1	funmpt2 5419	. . . 4 |- Fun inl
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
4		resfunexg 5939	. . . 4 |- ( ( Fun inl /\ A e. V ) -> (inl |` A ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 418	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inl |` A ) e. _V )
6		inlresf1 7407	. . 3 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5596	. . . 4 |- ( f = (inl |` A ) -> ( f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2913	. . 3 |- ( (inl |` A ) e. _V -> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1496	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7389	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 7036	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   <.cop 3712   class class class wbr 4131   |` cres 4778   Fun wfun 5374   -1-1->wf1 5377   ~<_ cdom 7025   ⊔ cdju 7383  inlcinl 7391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-dom 7028  df-dju 7384  df-inl 7393

This theorem is used by: (None)