Theorem djudoml 7362

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 7175	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
2	1	funmpt2 5329	. . . 4 |- Fun inl
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
4		resfunexg 5828	. . . 4 |- ( ( Fun inl /\ A e. V ) -> (inl |` A ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inl |` A ) e. _V )
6		inlresf1 7189	. . 3 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5498	. . . 4 |- ( f = (inl |` A ) -> ( f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2868	. . 3 |- ( (inl |` A ) e. _V -> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1467	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7171	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6860	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   <.cop 3646   class class class wbr 4059   |` cres 4695   Fun wfun 5284   -1-1->wf1 5287   ~<_ cdom 6849   ⊔ cdju 7165  inlcinl 7173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-dom 6852  df-dju 7166  df-inl 7175

This theorem is referenced by: (None)