Theorem djudoml 7528

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 7340	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
2	1	funmpt2 5393	. . . 4 |- Fun inl
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
4		resfunexg 5907	. . . 4 |- ( ( Fun inl /\ A e. V ) -> (inl |` A ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inl |` A ) e. _V )
6		inlresf1 7354	. . 3 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5570	. . . 4 |- ( f = (inl |` A ) -> ( f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2907	. . 3 |- ( (inl |` A ) e. _V -> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1492	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7336	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6987	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3510   <.cop 3694   class class class wbr 4111   |` cres 4753   Fun wfun 5348   -1-1->wf1 5351   ~<_ cdom 6976   ⊔ cdju 7330  inlcinl 7338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-dom 6979  df-dju 7331  df-inl 7340

This theorem is referenced by: (None)