Theorem djudoml 7092

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 6940	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
2	1	funmpt2 5170	. . . 4 |- Fun inl
3		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
4		resfunexg 5649	. . . 4 |- ( ( Fun inl /\ A e. V ) -> (inl |` A ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 411	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inl |` A ) e. _V )
6		inlresf1 6954	. . 3 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5331	. . . 4 |- ( f = (inl |` A ) -> ( f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2777	. . 3 |- ( (inl |` A ) e. _V -> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1423	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 6936	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6650	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : A -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 166	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   <.cop 3535   class class class wbr 3937   |` cres 4549   Fun wfun 5125   -1-1->wf1 5128   ~<_ cdom 6641   ⊔ cdju 6930  inlcinl 6938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-dom 6644  df-dju 6931  df-inl 6940

This theorem is referenced by: (None)