ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng Unicode version

Theorem f1imaeng 6750
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  ( F " C
)  ~~  C )

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5442 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )
2 f1oeng 6715 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C
) )  ->  C  ~~  ( F " C
) )
32ancoms 266 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C
)  /\  C  e.  V )  ->  C  ~~  ( F " C
) )
41, 3stoic3 1418 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  C  ~~  ( F
" C ) )
54ensymd 6741 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  ( F " C
)  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 967    e. wcel 2135    C_ wss 3112   class class class wbr 3977    |` cres 4601   "cima 4602   -1-1->wf1 5180   -1-1-onto->wf1o 5182    ~~ cen 6696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-er 6493  df-en 6699
This theorem is referenced by:  f1imaen  6752  isinfinf  6855  f1finf1o  6904  phimullem  12143
  Copyright terms: Public domain W3C validator