ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng GIF version

Theorem f1imaeng 6810
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5491 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oeng 6775 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
32ancoms 268 . . 3 (((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
41, 3stoic3 1442 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
54ensymd 6801 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 980  wcel 2160  wss 3144   class class class wbr 4018  cres 4643  cima 4644  1-1wf1 5228  1-1-ontowf1o 5230  cen 6756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-er 6553  df-en 6759
This theorem is referenced by:  f1imaen  6812  isinfinf  6915  f1finf1o  6964  phimullem  12243
  Copyright terms: Public domain W3C validator