ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng GIF version

Theorem f1imaeng 6805
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5488 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oeng 6770 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
32ancoms 268 . . 3 (((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
41, 3stoic3 1441 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
54ensymd 6796 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979  wcel 2158  wss 3141   class class class wbr 4015  cres 4640  cima 4641  1-1wf1 5225  1-1-ontowf1o 5227  cen 6751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6548  df-en 6754
This theorem is referenced by:  f1imaen  6807  isinfinf  6910  f1finf1o  6959  phimullem  12238
  Copyright terms: Public domain W3C validator