ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng GIF version

Theorem f1imaeng 6770
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5457 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oeng 6735 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
32ancoms 266 . . 3 (((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
41, 3stoic3 1424 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
54ensymd 6761 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 973  wcel 2141  wss 3121   class class class wbr 3989  cres 4613  cima 4614  1-1wf1 5195  1-1-ontowf1o 5197  cen 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719
This theorem is referenced by:  f1imaen  6772  isinfinf  6875  f1finf1o  6924  phimullem  12179
  Copyright terms: Public domain W3C validator