Theorem f1ocnvdm 5852

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5537	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
2		f1of 5524	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
4	3	ffvelcdmda 5717	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   `'ccnv 4675   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5898  f1ocnvfv3  5935  en2  6914  frecuzrdglem  10558  frecuzrdgtcl  10559  frecuzrdgsuc  10561  frecuzrdgdomlem  10564  frecuzrdgfunlem  10566  frecuzrdgsuctlem  10570  frecfzennn  10573  fzfig  10577  nninfctlemfo  12394