Theorem f1ocnvdm 5954

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5627	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
2		f1of 5614	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
4	3	ffvelcdmda 5812	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   `'ccnv 4748   -->wf 5348   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6000  f1ocnvfv3  6039  en2  7065  frecuzrdglem  10773  frecuzrdgtcl  10774  frecuzrdgsuc  10776  frecuzrdgdomlem  10779  frecuzrdgfunlem  10781  frecuzrdgsuctlem  10785  frecfzennn  10788  fzfig  10792  nninfctlemfo  12736