Theorem f1ocnvdm 5798

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5489	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
2		f1of 5476	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
4	3	ffvelcdmda 5667	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( `' F ` C ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   `'ccnv 4640   -->wf 5227   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5844  f1ocnvfv3  5880  frecuzrdglem  10429  frecuzrdgtcl  10430  frecuzrdgsuc  10432  frecuzrdgdomlem  10435  frecuzrdgfunlem  10437  frecuzrdgsuctlem  10441  frecfzennn  10444  fzfig  10448