Theorem frecuzrdgsuctlem 10425

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10401 for the description of G as the mapping from om to ( ZZ>= ` C ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgsuctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgsuctlem.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuctlem	|- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, B, y   x, G, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdgsuctlem.ran	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10423	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
9		ffun 5370	. . . 4 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun P )
11		1st2nd2 6178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
13	12	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
14		df-ov 5880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
15	13, 14	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) )
16		xp1st 6168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
18	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> S C_ T )
19		xp2nd 6169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
21	18, 20	sseldd 3158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. T )
22		peano2uz 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
24		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( 1st ` z ) F y ) = ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) )
25	24	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( ( 1st ` z ) F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) )
26		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x F y ) = ( ( 1st ` z ) F y ) )
27	26	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( ( x F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
28	27	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( A. y e. S ( x F y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
29	4	ralrimivva 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
31	28, 30, 17	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S )
32	25, 31, 20	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S )
33		opelxpi 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
34	23, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
35		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` z ) + 1 ) )
36	35, 26	opeq12d 3788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1st ` z ) -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. )
37	24	opeq2d 3787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
38		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. )
39	36, 37, 38	ovmpog 6011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` z ) e. T /\ <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
40	17, 21, 34, 39	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
41	15, 40	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
42	41, 34	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
43	42	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
44		uzid 9544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
46		opelxpi 4660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` C ) /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
47	45, 2, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
49		frecuzrdgsuctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
50	1, 49	frec2uzf1od 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
51		f1ocnvdm 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
52	50, 51	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
53		frecsuc 6410	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
54	43, 48, 52, 53	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
55	5	fveq1i 5518	. . . . . . . 8 |- ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) )
56	5	fveq1i 5518	. . . . . . . . 9 |- ( R ` ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) )
57	56	fveq2i 5520	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4g 2235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
61	60, 52	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
62		1st2nd2 6178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
64	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> C e. ZZ )
65	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A e. S )
66	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> S C_ T )
67	4	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
68	64, 65, 66, 67, 5, 52, 49	frecuzrdgg 10418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( G ` ( `' G ` B ) ) )
69		f1ocnvfv2 5781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
70	50, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
71	68, 70	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = B )
72	71	opeq1d 3786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
73	63, 72	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
74	73	fveq2d 5521	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
75	58, 74	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
76		df-ov 5880	. . . . . 6 |- ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
77	75, 76	eqtr4di 2228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
78		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
79		xp2nd 6169	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
80	61, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
81	66, 80	sseldd 3158	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T )
82		peano2uz 9585	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
83	82	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
84	67, 78, 80	caovcld 6030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S )
85		opelxp 4658	. . . . . . 7 |- ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) <-> ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S ) )
86	83, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
87		oveq1 5884	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
88		oveq1 5884	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x F y ) = ( B F y ) )
89	87, 88	opeq12d 3788	. . . . . . 7 |- ( x = B -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. )
90		oveq2 5885	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> ( B F y ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
91	90	opeq2d 3787	. . . . . . 7 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
92	89, 91, 38	ovmpog 6011	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T /\ <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
93	78, 81, 86, 92	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
94	77, 93	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
95		ffun 5370	. . . . . . 7 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> Fun R )
96	60, 95	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun R )
97		peano2 4596	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G ` B ) e. om -> suc ( `' G ` B ) e. om )
98	52, 97	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. om )
99		fdm 5373	. . . . . . . 8 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> dom R = om )
100	60, 99	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> dom R = om )
101	98, 100	eleqtrrd 2257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. dom R )
102		fvelrn 5649	. . . . . 6 |- ( ( Fun R /\ suc ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
103	96, 101, 102	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
104	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P = ran R )
105	103, 104	eleqtrrd 2257	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. P )
106	94, 105	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P )
107		funopfv 5557	. . 3 |- ( Fun P -> ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) ) )
108	10, 106, 107	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
109	52, 100	eleqtrrd 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. dom R )
110		fvelrn 5649	. . . . . . 7 |- ( ( Fun R /\ ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
111	96, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
112	111, 104	eleqtrrd 2257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. P )
113	73, 112	eqeltrrd 2255	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P )
114		funopfv 5557	. . . 4 |- ( Fun P -> ( <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
115	10, 113, 114	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
116	115	oveq2d 5893	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( P ` B ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
117	108, 116	eqtr4d 2213	1 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   <.cop 3597   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629   Fun wfun 5212   -->wf 5214   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879   1stc1st 6141   2ndc2nd 6142  freccfrec 6393   1c1 7814   + caddc 7816   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  frecuzrdgsuct  10426