Theorem frecuzrdgsuctlem 9795

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 9771 for the description of G as the mapping from om to ( ZZ>= ` C ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgsuctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgsuctlem.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuctlem	|- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, B, y   x, G, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdgsuctlem.ran	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 9793	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8	7	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
9		ffun 5150	. . . 4 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun P )
11		1st2nd2 5927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
12	11	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
13	12	fveq2d 5293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
14		df-ov 5637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
15	13, 14	syl6eqr 2138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) )
16		xp1st 5918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17	16	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
18	3	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> S C_ T )
19		xp2nd 5919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
20	19	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
21	18, 20	sseldd 3024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. T )
22		peano2uz 9040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
24		oveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( 1st ` z ) F y ) = ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) )
25	24	eleq1d 2156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( ( 1st ` z ) F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) )
26		oveq1 5641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x F y ) = ( ( 1st ` z ) F y ) )
27	26	eleq1d 2156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( ( x F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
28	27	ralbidv 2380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( A. y e. S ( x F y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
29	4	ralrimivva 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
30	29	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
31	28, 30, 17	rspcdva 2727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S )
32	25, 31, 20	rspcdva 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S )
33		opelxpi 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
34	23, 32, 33	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
35		oveq1 5641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` z ) + 1 ) )
36	35, 26	opeq12d 3625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1st ` z ) -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. )
37	24	opeq2d 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
38		eqid 2088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. )
39	36, 37, 38	ovmpt2g 5761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` z ) e. T /\ <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
40	17, 21, 34, 39	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
41	15, 40	eqtrd 2120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
42	41, 34	eqeltrd 2164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
43	42	ralrimiva 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
44		uzid 9002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
46		opelxpi 4459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` C ) /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
47	45, 2, 46	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
48	47	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
49		frecuzrdgsuctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
50	1, 49	frec2uzf1od 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
51		f1ocnvdm 5542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
52	50, 51	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
53		frecsuc 6154	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
54	43, 48, 52, 53	syl3anc 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
55	5	fveq1i 5290	. . . . . . . 8 |- ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) )
56	5	fveq1i 5290	. . . . . . . . 9 |- ( R ` ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) )
57	56	fveq2i 5292	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4g 2145	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
60	59	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
61	60, 52	ffvelrnd 5419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
62		1st2nd2 5927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
64	1	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> C e. ZZ )
65	2	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A e. S )
66	3	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> S C_ T )
67	4	adantlr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
68	64, 65, 66, 67, 5, 52, 49	frecuzrdgg 9788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( G ` ( `' G ` B ) ) )
69		f1ocnvfv2 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
70	50, 69	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
71	68, 70	eqtrd 2120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = B )
72	71	opeq1d 3623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
73	63, 72	eqtrd 2120	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
74	73	fveq2d 5293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
75	58, 74	eqtrd 2120	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
76		df-ov 5637	. . . . . 6 |- ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2138	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
78		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
79		xp2nd 5919	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
80	61, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
81	66, 80	sseldd 3024	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T )
82		peano2uz 9040	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
83	82	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
84	67, 78, 80	caovcld 5780	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S )
85		opelxp 4457	. . . . . . 7 |- ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) <-> ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S ) )
86	83, 84, 85	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
87		oveq1 5641	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
88		oveq1 5641	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x F y ) = ( B F y ) )
89	87, 88	opeq12d 3625	. . . . . . 7 |- ( x = B -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. )
90		oveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> ( B F y ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
91	90	opeq2d 3624	. . . . . . 7 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
92	89, 91, 38	ovmpt2g 5761	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T /\ <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
93	78, 81, 86, 92	syl3anc 1174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
94	77, 93	eqtrd 2120	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
95		ffun 5150	. . . . . . 7 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> Fun R )
96	60, 95	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun R )
97		peano2 4400	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G ` B ) e. om -> suc ( `' G ` B ) e. om )
98	52, 97	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. om )
99		fdm 5152	. . . . . . . 8 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> dom R = om )
100	60, 99	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> dom R = om )
101	98, 100	eleqtrrd 2167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. dom R )
102		fvelrn 5414	. . . . . 6 |- ( ( Fun R /\ suc ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
103	96, 101, 102	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
104	6	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P = ran R )
105	103, 104	eleqtrrd 2167	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. P )
106	94, 105	eqeltrrd 2165	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P )
107		funopfv 5328	. . 3 |- ( Fun P -> ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) ) )
108	10, 106, 107	sylc 61	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
109	52, 100	eleqtrrd 2167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. dom R )
110		fvelrn 5414	. . . . . . 7 |- ( ( Fun R /\ ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
111	96, 109, 110	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
112	111, 104	eleqtrrd 2167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. P )
113	73, 112	eqeltrrd 2165	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P )
114		funopfv 5328	. . . 4 |- ( Fun P -> ( <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
115	10, 113, 114	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
116	115	oveq2d 5650	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( P ` B ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
117	108, 116	eqtr4d 2123	1 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   C_ wss 2997   <.cop 3444   |-> cmpt 3891   suc csuc 4183   omcom 4395   X. cxp 4426   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   ran crn 4429   Fun wfun 4996   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   |-> cmpt2 5636   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892  freccfrec 6137   1c1 7330   + caddc 7332   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989

This theorem is referenced by:  frecuzrdgsuct  9796