Theorem frecuzrdgsuctlem 10570

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10546 for the description of G as the mapping from om to ( ZZ>= ` C ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgsuctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgsuctlem.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuctlem	|- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, B, y   x, G, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdgsuctlem.ran	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10568	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
9		ffun 5430	. . . 4 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun P )
11		1st2nd2 6263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
13	12	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
14		df-ov 5949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
15	13, 14	eqtr4di 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) )
16		xp1st 6253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
18	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> S C_ T )
19		xp2nd 6254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
21	18, 20	sseldd 3194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. T )
22		peano2uz 9706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
24		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( 1st ` z ) F y ) = ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) )
25	24	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( ( 1st ` z ) F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) )
26		oveq1 5953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x F y ) = ( ( 1st ` z ) F y ) )
27	26	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( ( x F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
28	27	ralbidv 2506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( A. y e. S ( x F y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
29	4	ralrimivva 2588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
31	28, 30, 17	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S )
32	25, 31, 20	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S )
33		opelxpi 4708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
34	23, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
35		oveq1 5953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` z ) + 1 ) )
36	35, 26	opeq12d 3827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1st ` z ) -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. )
37	24	opeq2d 3826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
38		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. )
39	36, 37, 38	ovmpog 6082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` z ) e. T /\ <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
40	17, 21, 34, 39	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
41	15, 40	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
42	41, 34	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
43	42	ralrimiva 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
44		uzid 9664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
46		opelxpi 4708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` C ) /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
47	45, 2, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
49		frecuzrdgsuctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
50	1, 49	frec2uzf1od 10553	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
51		f1ocnvdm 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
52	50, 51	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
53		frecsuc 6495	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
54	43, 48, 52, 53	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
55	5	fveq1i 5579	. . . . . . . 8 |- ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) )
56	5	fveq1i 5579	. . . . . . . . 9 |- ( R ` ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) )
57	56	fveq2i 5581	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4g 2263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
61	60, 52	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
62		1st2nd2 6263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
64	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> C e. ZZ )
65	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A e. S )
66	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> S C_ T )
67	4	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
68	64, 65, 66, 67, 5, 52, 49	frecuzrdgg 10563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( G ` ( `' G ` B ) ) )
69		f1ocnvfv2 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
70	50, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
71	68, 70	eqtrd 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = B )
72	71	opeq1d 3825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
73	63, 72	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
74	73	fveq2d 5582	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
75	58, 74	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
76		df-ov 5949	. . . . . 6 |- ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
77	75, 76	eqtr4di 2256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
78		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
79		xp2nd 6254	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
80	61, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
81	66, 80	sseldd 3194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T )
82		peano2uz 9706	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
83	82	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
84	67, 78, 80	caovcld 6102	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S )
85		opelxp 4706	. . . . . . 7 |- ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) <-> ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S ) )
86	83, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
87		oveq1 5953	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
88		oveq1 5953	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x F y ) = ( B F y ) )
89	87, 88	opeq12d 3827	. . . . . . 7 |- ( x = B -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. )
90		oveq2 5954	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> ( B F y ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
91	90	opeq2d 3826	. . . . . . 7 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
92	89, 91, 38	ovmpog 6082	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T /\ <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
93	78, 81, 86, 92	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
94	77, 93	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
95		ffun 5430	. . . . . . 7 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> Fun R )
96	60, 95	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun R )
97		peano2 4644	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G ` B ) e. om -> suc ( `' G ` B ) e. om )
98	52, 97	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. om )
99		fdm 5433	. . . . . . . 8 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> dom R = om )
100	60, 99	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> dom R = om )
101	98, 100	eleqtrrd 2285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. dom R )
102		fvelrn 5713	. . . . . 6 |- ( ( Fun R /\ suc ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
103	96, 101, 102	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
104	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P = ran R )
105	103, 104	eleqtrrd 2285	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. P )
106	94, 105	eqeltrrd 2283	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P )
107		funopfv 5620	. . 3 |- ( Fun P -> ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) ) )
108	10, 106, 107	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
109	52, 100	eleqtrrd 2285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. dom R )
110		fvelrn 5713	. . . . . . 7 |- ( ( Fun R /\ ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
111	96, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
112	111, 104	eleqtrrd 2285	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. P )
113	73, 112	eqeltrrd 2283	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P )
114		funopfv 5620	. . . 4 |- ( Fun P -> ( <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
115	10, 113, 114	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
116	115	oveq2d 5962	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( P ` B ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
117	108, 116	eqtr4d 2241	1 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   suc csuc 4413   omcom 4639   X. cxp 4674   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   ran crn 4677   Fun wfun 5266   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   1stc1st 6226   2ndc2nd 6227  freccfrec 6478   1c1 7928   + caddc 7930   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  frecuzrdgsuct  10571