ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig Unicode version

Theorem fzfig 9802
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )

Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 9001 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
2 eqid 2088 . . . . . . 7  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
32frechashgf1o 9800 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4 peano2uz 9040 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 uznn0sub 9019 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
64, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
7 f1ocnvdm 5542 . . . . . 6  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `
 ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e. 
om )
83, 6, 7sylancr 405 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
9 nnfi 6568 . . . . 5  |-  ( ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
112frecfzen2 9799 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) ) )
12 enfii 6570 . . . 4  |-  ( ( ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `
 ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e. 
Fin  /\  ( M ... N )  ~~  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
1310, 11, 12syl2anc 403 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
141, 13syl6bir 162 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
)
15 zltnle 8766 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1615ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
17 fzn 9425 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
1816, 17bitr3d 188 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N 
<->  ( M ... N
)  =  (/) ) )
19 0fin 6580 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
20 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
2119, 20mpbiri 166 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
2218, 21syl6bi 161 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N  ->  ( M ... N )  e.  Fin ) )
23 zdcle 8793 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  N )
24 df-dc 781 . . 3  |-  (DECID  M  <_  N 
<->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
2523, 24sylib 120 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
2614, 22, 25mpjaod 673 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   (/)c0 3284   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   omcom 4395   `'ccnv 4427   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137    ~~ cen 6435   Fincfn 6437   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  fzfigd  9803  fzofig  9804  isfinite4im  10166  phibnd  11275
  Copyright terms: Public domain W3C validator