ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig Unicode version
Theorem fzfig 10386
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 9500 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
2 eqid 2170 . . . . . . 7 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
32frechashgf1o 10384 . . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4 peano2uz 9542 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5 uznn0sub 9518 . . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
64, 5syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
7 f1ocnvdm 5760 . . . . . 6 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
83, 6, 7sylancr 412 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
9 nnfi 6850 . . . . 5 |- ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
108, 9syl 14 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
112frecfzen2 10383 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
12 enfii 6852 . . . 4 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin /\ ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
1310, 11, 12syl2anc 409 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) e. Fin )
141, 13syl6bir 163 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
15 zltnle 9258 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
1615ancoms 266 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
17 fzn 9998 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
1816, 17bitr3d 189 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N <-> ( M ... N ) = (/) ) )
19 0fin 6862 . . . 4 |- (/) e. Fin
20 eleq1 2233 . . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( ( M ... N ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
2119, 20mpbiri 167 . . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
2218, 21syl6bi 162 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
23 zdcle 9288 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
24 df-dc 830 . . 3 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
2523, 24sylib 121 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
2614, 22, 25mpjaod 713 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   omcom 4574   `'ccnv 4610   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   ~~ cen 6716   Fincfn 6718   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966
This theorem is referenced by:  fzfigd  10387  fzofig  10388  isfinite4im  10727  phibnd  12171
  Copyright terms: Public domain W3C validator