Theorem fzfig 10845

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzfig	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 9914	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
2		eqid 2238	. . . . . . 7 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10843	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4		peano2uz 9962	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		uznn0sub 9933	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
7		f1ocnvdm 5977	. . . . . 6 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
8	3, 6, 7	sylancr 418	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
9		nnfi 7164	. . . . 5 |- ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
11	2	frecfzen2 10842	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
12		enfii 7166	. . . 4 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin /\ ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
13	10, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) e. Fin )
14	1, 13	biimtrrdi 164	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
15		zltnle 9669	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
16	15	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
17		fzn 10425	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
18	16, 17	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N <-> ( M ... N ) = (/) ) )
19		0fi 7178	. . . 4 |- (/) e. Fin
20		eleq1 2301	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( ( M ... N ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
21	19, 20	mpbiri 168	. . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
22	18, 21	biimtrdi 163	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
23		zdcle 9700	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
24		df-dc 847	. . 3 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
25	23, 24	sylib 122	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
26	14, 22, 25	mpjaod 730	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   omcom 4732   `'ccnv 4768   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   ~~ cen 7010   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzfigd  10846  fzofig  10847  isfinite4im  11209  phibnd  12973  ballotfilemofi  13197  ballotfilem1  13198  ballotfilem2  13206  ballotfilemfmpn  13212  ballotfilemefi  13215  ballotfilemodife  13218  ballotfilemsval  13230  ballotfilemrval  13239  konigsbergvtx  16637  konigsbergiedg  16638  konigsbergumgr  16642  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645  konigsberglem5  16647  konigsberg  16648