ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig Unicode version
Theorem fzfig 10522
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 9614 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
2 eqid 2196 . . . . . . 7 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
32frechashgf1o 10520 . . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4 peano2uz 9657 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5 uznn0sub 9633 . . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
64, 5syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
7 f1ocnvdm 5828 . . . . . 6 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
83, 6, 7sylancr 414 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
9 nnfi 6933 . . . . 5 |- ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
108, 9syl 14 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
112frecfzen2 10519 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
12 enfii 6935 . . . 4 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin /\ ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
1310, 11, 12syl2anc 411 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) e. Fin )
141, 13biimtrrdi 164 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
15 zltnle 9372 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
1615ancoms 268 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
17 fzn 10117 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
1816, 17bitr3d 190 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N <-> ( M ... N ) = (/) ) )
19 0fin 6945 . . . 4 |- (/) e. Fin
20 eleq1 2259 . . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( ( M ... N ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
2119, 20mpbiri 168 . . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
2218, 21biimtrdi 163 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
23 zdcle 9402 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
24 df-dc 836 . . 3 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
2523, 24sylib 122 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
2614, 22, 25mpjaod 719 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   omcom 4626   `'ccnv 4662   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   ~~ cen 6797   Fincfn 6799   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084
This theorem is referenced by:  fzfigd  10523  fzofig  10524  isfinite4im  10884  phibnd  12385
  Copyright terms: Public domain W3C validator