Theorem frecuzrdglem 10736

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgrrn.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrrn.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrrn.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdglem.b	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	|- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2	frec2uzf1od 10731	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
8		f1ocnvdm 5932	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G ` B ) e. om )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10734	. . 3 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
11		f1ocnvfv2 5929	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
13	12	opeq1d 3873	. . 3 |- ( ph -> <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
14	10, 13	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10735	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		ffn 5489	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R Fn om )
18		fnfvelrn 5787	. . 3 |- ( ( R Fn om /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
19	17, 9, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
20	14, 19	eqeltrrd 2309	1 |- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   |-> cmpt 4155   omcom 4694   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   ran crn 4732   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   2ndc2nd 6311  freccfrec 6599   1c1 8093   + caddc 8095   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10737  frecuzrdgsuc  10739