ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem Unicode version

Theorem frecuzrdglem 9967
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frecuzrdgrrn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrrn.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrrn.2  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdglem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem  |-  ( ph  -> 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  e.  ran  R )
Distinct variable groups:    y, A    x, C, y    y, G    x, F, y    x, S, y    ph, x, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x, y)    G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
61, 2frec2uzf1od 9962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
7 frecuzrdglem.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  C ) )
8 f1ocnvdm 5598 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
96, 7, 8syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
101, 2, 3, 4, 5, 9frec2uzrdg 9965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  =  <. ( G `  ( `' G `  B )
) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
11 f1ocnvfv2 5595 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
126, 7, 11syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
1312opeq1d 3650 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( G `  ( `' G `  B ) ) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  =  <. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
1410, 13eqtrd 2127 . 2  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  =  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 9966 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
16 ffn 5195 . . . 4  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  R  Fn  om )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  om )
18 fnfvelrn 5470 . . 3  |-  ( ( R  Fn  om  /\  ( `' G `  B )  e.  om )  -> 
( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
1917, 9, 18syl2anc 404 . 2  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
2014, 19eqeltrrd 2172 1  |-  ( ph  -> 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  e.  ran  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445   <.cop 3469    |-> cmpt 3921   omcom 4433    X. cxp 4465   `'ccnv 4466   ran crn 4468    Fn wfn 5044   -->wf 5045   -1-1-onto->wf1o 5048   ` cfv 5049  (class class class)co 5690    |-> cmpt2 5692   2ndc2nd 5948  freccfrec 6193   1c1 7448    + caddc 7450   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  9968  frecuzrdgsuc  9970
  Copyright terms: Public domain W3C validator