Theorem frecuzrdglem 10663

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgrrn.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrrn.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrrn.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdglem.b	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	|- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2	frec2uzf1od 10658	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
8		f1ocnvdm 5917	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G ` B ) e. om )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10661	. . 3 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
11		f1ocnvfv2 5914	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
13	12	opeq1d 3866	. . 3 |- ( ph -> <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
14	10, 13	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10662	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		ffn 5479	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R Fn om )
18		fnfvelrn 5775	. . 3 |- ( ( R Fn om /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
19	17, 9, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
20	14, 19	eqeltrrd 2307	1 |- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670   |-> cmpt 4148   omcom 4686   X. cxp 4721   `'ccnv 4722   ran crn 4724   Fn wfn 5319   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   2ndc2nd 6297  freccfrec 6551   1c1 8023   + caddc 8025   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10664  frecuzrdgsuc  10666