ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem Unicode version

Theorem frecuzrdglem 10191
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frecuzrdgrrn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrrn.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrrn.2  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdglem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem  |-  ( ph  -> 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  e.  ran  R )
Distinct variable groups:    y, A    x, C, y    y, G    x, F, y    x, S, y    ph, x, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x, y)    G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
61, 2frec2uzf1od 10186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
7 frecuzrdglem.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  C ) )
8 f1ocnvdm 5682 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
96, 7, 8syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
101, 2, 3, 4, 5, 9frec2uzrdg 10189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  =  <. ( G `  ( `' G `  B )
) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
11 f1ocnvfv2 5679 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
126, 7, 11syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
1312opeq1d 3711 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( G `  ( `' G `  B ) ) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  =  <. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
1410, 13eqtrd 2172 . 2  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  =  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 10190 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
16 ffn 5272 . . . 4  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  R  Fn  om )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  om )
18 fnfvelrn 5552 . . 3  |-  ( ( R  Fn  om  /\  ( `' G `  B )  e.  om )  -> 
( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
1917, 9, 18syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
2014, 19eqeltrrd 2217 1  |-  ( ph  -> 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >.  e.  ran  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530    |-> cmpt 3989   omcom 4504    X. cxp 4537   `'ccnv 4538   ran crn 4540    Fn wfn 5118   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   2ndc2nd 6037  freccfrec 6287   1c1 7628    + caddc 7630   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10192  frecuzrdgsuc  10194
  Copyright terms: Public domain W3C validator