Theorem frecuzrdglem 10503

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgrrn.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrrn.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrrn.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdglem.b	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	|- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2	frec2uzf1od 10498	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
8		f1ocnvdm 5828	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G ` B ) e. om )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10501	. . 3 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
11		f1ocnvfv2 5825	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
13	12	opeq1d 3814	. . 3 |- ( ph -> <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
14	10, 13	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10502	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		ffn 5407	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R Fn om )
18		fnfvelrn 5694	. . 3 |- ( ( R Fn om /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
19	17, 9, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
20	14, 19	eqeltrrd 2274	1 |- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   |-> cmpt 4094   omcom 4626   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   2ndc2nd 6197  freccfrec 6448   1c1 7880   + caddc 7882   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  frecuzrdgtcl  10504  frecuzrdgsuc  10506