Theorem frecuzrdglem 10869

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgrrn.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrrn.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrrn.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdglem.b	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdglem	|- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   G( x)

Proof of Theorem frecuzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2	frec2uzf1od 10864	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		frecuzrdglem.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
8		f1ocnvdm 5990	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G ` B ) e. om )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	frec2uzrdg 10867	. . 3 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
11		f1ocnvfv2 5987	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
12	6, 7, 11	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
13	12	opeq1d 3910	. . 3 |- ( ph -> <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
14	10, 13	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10868	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		ffn 5536	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R Fn om )
18		fnfvelrn 5843	. . 3 |- ( ( R Fn om /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
19	17, 9, 18	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
20	14, 19	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   |-> cmpt 4193   omcom 4739   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   ran crn 4777   Fn wfn 5375   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   2ndc2nd 6377  freccfrec 6665   1c1 8186   + caddc 8188   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  frecuzrdgtcl  10870  frecuzrdgsuc  10872