Theorem f1oiso2 5806

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2	|- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }
2		f1ocnvdm 5760	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( `' H ` x ) e. A )
3	2	adantrr 476	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
4	3	3adant3 1012	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
5		f1ocnvdm 5760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( `' H ` y ) e. A )
6	5	adantrl 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
7	6	3adant3 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
8		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( H ` ( `' H ` x ) ) = x )
9	8	eqcomd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
10		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( H ` ( `' H ` y ) ) = y )
11	10	eqcomd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
12	9, 11	anim12dan 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
13	12	3adant3 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
14		simp3 994	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
15		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
16	15	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( y = ( H ` w ) <-> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) ) )
18		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( `' H ` x ) R w <-> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
20	19	rspcev 2834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' H ` y ) e. A /\ ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
22		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
23	22	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( x = ( H ` z ) <-> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) ) )
24	23	anbi1d 462	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) ) )
25		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( z R w <-> ( `' H ` x ) R w ) )
26	24, 25	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
27	26	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
28	27	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H ` x ) e. A /\ E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
29	4, 21, 28	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
30	29	3expib 1201	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
31		simp3ll 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x = ( H ` z ) )
32		simp1 992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
33		simp2l 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z e. A )
34		f1of 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
35	34	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( H ` z ) e. B )
36	32, 33, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) e. B )
37	31, 36	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x e. B )
38		simp3lr 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y = ( H ` w ) )
39		simp2r 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> w e. A )
40	34	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. B )
41	32, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) e. B )
42	38, 41	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y e. B )
43		simp3r 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z R w )
44	31	eqcomd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) = x )
45		f1ocnvfv 5758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
46	32, 33, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
47	44, 46	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) = z )
48	38	eqcomd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) = y )
49		f1ocnvfv 5758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
50	32, 39, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
51	48, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` y ) = w )
52	43, 47, 51	3brtr4d 4021	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
53	37, 42, 52	jca31 307	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
54	53	3exp 1197	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) ) )
55	54	rexlimdvv 2594	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
56	30, 55	impbid 128	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) <-> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
57	56	opabbidv 4055	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
58	1, 57	eqtrid 2215	. 2 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
59		f1oiso 5805	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
60	58, 59	mpdan 419	1 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   {copab 4049   `'ccnv 4610   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by: (None)