Theorem f1oiso2 6006

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2	|- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }
2		f1ocnvdm 5960	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( `' H ` x ) e. A )
3	2	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
4	3	3adant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
5		f1ocnvdm 5960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( `' H ` y ) e. A )
6	5	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
7	6	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
8		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( H ` ( `' H ` x ) ) = x )
9	8	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
10		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( H ` ( `' H ` y ) ) = y )
11	10	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
12	9, 11	anim12dan 604	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
13	12	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
14		simp3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
15		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
16	15	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( y = ( H ` w ) <-> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) ) )
18		breq2 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( `' H ` x ) R w <-> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
20	19	rspcev 2923	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' H ` y ) e. A /\ ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1272	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
22		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
23	22	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( x = ( H ` z ) <-> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) ) )
25		breq1 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( z R w <-> ( `' H ` x ) R w ) )
26	24, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
27	26	rexbidv 2545	. . . . . . . 8 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
28	27	rspcev 2923	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H ` x ) e. A /\ E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
29	4, 21, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
30	29	3expib 1233	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
31		simp3ll 1095	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x = ( H ` z ) )
32		simp1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
33		simp2l 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z e. A )
34		f1of 5619	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
35	34	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( H ` z ) e. B )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) e. B )
37	31, 36	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x e. B )
38		simp3lr 1096	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y = ( H ` w ) )
39		simp2r 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> w e. A )
40	34	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. B )
41	32, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) e. B )
42	38, 41	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y e. B )
43		simp3r 1053	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z R w )
44	31	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) = x )
45		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
46	32, 33, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
47	44, 46	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) = z )
48	38	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) = y )
49		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
50	32, 39, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
51	48, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` y ) = w )
52	43, 47, 51	3brtr4d 4146	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
53	37, 42, 52	jca31 309	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
54	53	3exp 1229	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) ) )
55	54	rexlimdvv 2669	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
56	30, 55	impbid 129	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) <-> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
57	56	opabbidv 4181	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
58	1, 57	eqtrid 2279	. 2 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
59		f1oiso 6005	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
60	58, 59	mpdan 421	1 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   {copab 4175   `'ccnv 4753   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Isom wiso 5358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366

This theorem is referenced by: (None)