Theorem f1oiso2 5870

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2	|- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }
2		f1ocnvdm 5824	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( `' H ` x ) e. A )
3	2	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
4	3	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
5		f1ocnvdm 5824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( `' H ` y ) e. A )
6	5	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
7	6	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
8		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( H ` ( `' H ` x ) ) = x )
9	8	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
10		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( H ` ( `' H ` y ) ) = y )
11	10	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
12	9, 11	anim12dan 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
13	12	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
14		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
15		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
16	15	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( y = ( H ` w ) <-> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) ) )
18		breq2 4033	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( `' H ` x ) R w <-> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
20	19	rspcev 2864	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' H ` y ) e. A /\ ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1247	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
22		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
23	22	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( x = ( H ` z ) <-> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) ) )
25		breq1 4032	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( z R w <-> ( `' H ` x ) R w ) )
26	24, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
27	26	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
28	27	rspcev 2864	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H ` x ) e. A /\ E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
29	4, 21, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
30	29	3expib 1208	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
31		simp3ll 1070	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x = ( H ` z ) )
32		simp1 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
33		simp2l 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z e. A )
34		f1of 5500	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
35	34	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( H ` z ) e. B )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) e. B )
37	31, 36	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x e. B )
38		simp3lr 1071	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y = ( H ` w ) )
39		simp2r 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> w e. A )
40	34	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. B )
41	32, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) e. B )
42	38, 41	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y e. B )
43		simp3r 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z R w )
44	31	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) = x )
45		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
46	32, 33, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
47	44, 46	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) = z )
48	38	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) = y )
49		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
50	32, 39, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
51	48, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` y ) = w )
52	43, 47, 51	3brtr4d 4061	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
53	37, 42, 52	jca31 309	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
54	53	3exp 1204	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) ) )
55	54	rexlimdvv 2618	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
56	30, 55	impbid 129	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) <-> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
57	56	opabbidv 4095	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
58	1, 57	eqtrid 2238	. 2 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
59		f1oiso 5869	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
60	58, 59	mpdan 421	1 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   {copab 4089   `'ccnv 4658   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254   Isom wiso 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263

This theorem is referenced by: (None)