Theorem f1oiso2 5950

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2	|- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }
2		f1ocnvdm 5904	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( `' H ` x ) e. A )
3	2	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
4	3	3adant3 1041	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
5		f1ocnvdm 5904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( `' H ` y ) e. A )
6	5	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
7	6	3adant3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
8		f1ocnvfv2 5901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( H ` ( `' H ` x ) ) = x )
9	8	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
10		f1ocnvfv2 5901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( H ` ( `' H ` y ) ) = y )
11	10	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
12	9, 11	anim12dan 602	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
13	12	3adant3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
14		simp3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
15		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
16	15	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( y = ( H ` w ) <-> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) ) )
18		breq2 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( `' H ` x ) R w <-> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
20	19	rspcev 2907	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' H ` y ) e. A /\ ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
22		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
23	22	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( x = ( H ` z ) <-> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) ) )
25		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( z R w <-> ( `' H ` x ) R w ) )
26	24, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
27	26	rexbidv 2531	. . . . . . . 8 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
28	27	rspcev 2907	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H ` x ) e. A /\ E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
29	4, 21, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
30	29	3expib 1230	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
31		simp3ll 1092	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x = ( H ` z ) )
32		simp1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
33		simp2l 1047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z e. A )
34		f1of 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
35	34	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( H ` z ) e. B )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) e. B )
37	31, 36	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x e. B )
38		simp3lr 1093	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y = ( H ` w ) )
39		simp2r 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> w e. A )
40	34	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. B )
41	32, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) e. B )
42	38, 41	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y e. B )
43		simp3r 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z R w )
44	31	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) = x )
45		f1ocnvfv 5902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
46	32, 33, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
47	44, 46	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) = z )
48	38	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) = y )
49		f1ocnvfv 5902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
50	32, 39, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
51	48, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` y ) = w )
52	43, 47, 51	3brtr4d 4114	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
53	37, 42, 52	jca31 309	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
54	53	3exp 1226	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) ) )
55	54	rexlimdvv 2655	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
56	30, 55	impbid 129	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) <-> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
57	56	opabbidv 4149	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
58	1, 57	eqtrid 2274	. 2 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
59		f1oiso 5949	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
60	58, 59	mpdan 421	1 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   {copab 4143   `'ccnv 4717   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317   Isom wiso 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326

This theorem is referenced by: (None)