ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1arith2 Unicode version

Theorem 1arith2 12307
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith2  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Distinct variable groups:    e, g, n, p, z    e, M, g    R, g, n
Allowed substitution hints:    R( z, e, p)    M( z, n, p)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
2 1arith.2 . . . . . 6  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
31, 21arith 12306 . . . . 5  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
4 f1ocnv 5453 . . . . 5  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  ->  `' M : R -1-1-onto-> NN )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  `' M : R -1-1-onto-> NN
6 f1ofveu 5838 . . . 4  |-  ( ( `' M : R -1-1-onto-> NN  /\  z  e.  NN )  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
75, 6mpan 422 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
8 f1ocnvfvb 5756 . . . . 5  |-  ( ( M : NN -1-1-onto-> R  /\  z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  (
( M `  z
)  =  g  <->  ( `' M `  g )  =  z ) )
93, 8mp3an1 1319 . . . 4  |-  ( ( z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  ( ( M `  z )  =  g  <-> 
( `' M `  g )  =  z ) )
109reubidva 2652 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  ( E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g  <->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z ) )
117, 10mpbird 166 . 2  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g )
1211rgen 2523 1  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E!wreu 2450   {crab 2452    |-> cmpt 4048   `'ccnv 4608   "cima 4612   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850    ^m cmap 6622   Fincfn 6714   NNcn 8865   NN0cn0 9122   Primecprime 12048    pCnt cpc 12225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-map 6624  df-en 6715  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-xnn0 9186  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator