Theorem 1arith2 13066

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith2	|- A. z e. NN E! g e. R ( M ` z ) = g

Distinct variable groups:   e, g, n, p, z   e, M, g   R, g, n

Allowed substitution hints:   R( z, e, p)   M( z, n, p)

Proof of Theorem 1arith2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . . . 6 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
2		1arith.2	. . . . . 6 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
3	1, 2	1arith 13065	. . . . 5 |- M : NN -1-1-onto-> R
4		f1ocnv 5627	. . . . 5 |- ( M : NN -1-1-onto-> R -> `' M : R -1-1-onto-> NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- `' M : R -1-1-onto-> NN
6		f1ofveu 6038	. . . 4 |- ( ( `' M : R -1-1-onto-> NN /\ z e. NN ) -> E! g e. R ( `' M ` g ) = z )
7	5, 6	mpan 424	. . 3 |- ( z e. NN -> E! g e. R ( `' M ` g ) = z )
8		f1ocnvfvb 5953	. . . . 5 |- ( ( M : NN -1-1-onto-> R /\ z e. NN /\ g e. R ) -> ( ( M ` z ) = g <-> ( `' M ` g ) = z ) )
9	3, 8	mp3an1 1361	. . . 4 |- ( ( z e. NN /\ g e. R ) -> ( ( M ` z ) = g <-> ( `' M ` g ) = z ) )
10	9	reubidva 2728	. . 3 |- ( z e. NN -> ( E! g e. R ( M ` z ) = g <-> E! g e. R ( `' M ` g ) = z ) )
11	7, 10	mpbird 167	. 2 |- ( z e. NN -> E! g e. R ( M ` z ) = g )
12	11	rgen 2595	1 |- A. z e. NN E! g e. R ( M ` z ) = g

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E!wreu 2522   {crab 2524   |-> cmpt 4171   `'ccnv 4748   "cima 4752   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   Fincfn 6975   NNcn 9237   NN0cn0 9496   Primecprime 12804   pCnt cpc 12982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-xnn0 9564  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-pc 12983

This theorem is referenced by: (None)