Theorem dju1p1e2 7070

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	|- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 6960	. 2 |- ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) = ( 1o ⊔ 1o )
2		djuin 6957	. . 3 |- ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/)
3		djulf1o 6951	. . . . . . . 8 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
4		f1of1 5374	. . . . . . . 8 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V )
6		ssv 3124	. . . . . . 7 |- 1o C_ _V
7		f1ores 5390	. . . . . . 7 |- ( (inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V ) /\ 1o C_ _V ) -> (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 423	. . . . . 6 |- (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o )
9		1oex 6329	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10	9	f1oen 6661	. . . . . 6 |- ( (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o ) -> 1o ~~ (inl " 1o ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o ~~ (inl " 1o )
12	11	ensymi 6684	. . . 4 |- (inl " 1o ) ~~ 1o
13		djurf1o 6952	. . . . . . . 8 |- inr : _V -1-1-onto-> ( { 1o } X. _V )
14		f1of1 5374	. . . . . . . 8 |- (inr : _V -1-1-onto-> ( { 1o } X. _V ) -> inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V )
16		f1ores 5390	. . . . . . 7 |- ( (inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V ) /\ 1o C_ _V ) -> (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o ) )
17	15, 6, 16	mp2an 423	. . . . . 6 |- (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o )
18	9	f1oen 6661	. . . . . 6 |- ( (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o ) -> 1o ~~ (inr " 1o ) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1o ~~ (inr " 1o )
20	19	ensymi 6684	. . . 4 |- (inr " 1o ) ~~ 1o
21		pm54.43 7063	. . . 4 |- ( ( (inl " 1o ) ~~ 1o /\ (inr " 1o ) ~~ 1o ) -> ( ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) <-> ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o ) )
22	12, 20, 21	mp2an 423	. . 3 |- ( ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) <-> ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o )
23	2, 22	mpbi 144	. 2 |- ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 3959	1 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   _Vcvv 2689   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   |` cres 4549   "cima 4550   -1-1->wf1 5128   -1-1-onto->wf1o 5130   1oc1o 6314   2oc2o 6315   ~~ cen 6640   ⊔ cdju 6930  inlcinl 6938  inrcinr 6939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076