Theorem dju1p1e2 6823

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	|- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 6760	. 2 |- ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) = ( 1o ⊔ 1o )
2		djuin 6756	. . 3 |- ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/)
3		djulf1o 6750	. . . . . . . 8 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
4		f1of1 5252	. . . . . . . 8 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V )
6		ssv 3046	. . . . . . 7 |- 1o C_ _V
7		f1ores 5268	. . . . . . 7 |- ( (inl : _V -1-1-> ( { (/) } X. _V ) /\ 1o C_ _V ) -> (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o ) )
8	5, 6, 7	mp2an 417	. . . . . 6 |- (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o )
9		1oex 6189	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10	9	f1oen 6476	. . . . . 6 |- ( (inl |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inl " 1o ) -> 1o ~~ (inl " 1o ) )
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1o ~~ (inl " 1o )
12	11	ensymi 6499	. . . 4 |- (inl " 1o ) ~~ 1o
13		djurf1o 6751	. . . . . . . 8 |- inr : _V -1-1-onto-> ( { 1o } X. _V )
14		f1of1 5252	. . . . . . . 8 |- (inr : _V -1-1-onto-> ( { 1o } X. _V ) -> inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V ) )
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V )
16		f1ores 5268	. . . . . . 7 |- ( (inr : _V -1-1-> ( { 1o } X. _V ) /\ 1o C_ _V ) -> (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o ) )
17	15, 6, 16	mp2an 417	. . . . . 6 |- (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o )
18	9	f1oen 6476	. . . . . 6 |- ( (inr |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> (inr " 1o ) -> 1o ~~ (inr " 1o ) )
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1o ~~ (inr " 1o )
20	19	ensymi 6499	. . . 4 |- (inr " 1o ) ~~ 1o
21		pm54.43 6818	. . . 4 |- ( ( (inl " 1o ) ~~ 1o /\ (inr " 1o ) ~~ 1o ) -> ( ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) <-> ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o ) )
22	12, 20, 21	mp2an 417	. . 3 |- ( ( (inl " 1o ) i^i (inr " 1o ) ) = (/) <-> ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o )
23	2, 22	mpbi 143	. 2 |- ( (inl " 1o ) u. (inr " 1o ) ) ~~ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 3866	1 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1289   _Vcvv 2619   u. cun 2997   i^i cin 2998   C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   class class class wbr 3845   X. cxp 4436   |` cres 4440   "cima 4441   -1-1->wf1 5012   -1-1-onto->wf1o 5014   1oc1o 6174   2oc2o 6175   ~~ cen 6455   ⊔ cdju 6730  inlcinl 6737  inrcinr 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6292  df-en 6458  df-dju 6731  df-inl 6739  df-inr 6740

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  6828  exmidfodomrlemrALT  6829