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Theorem isores3 5791
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )

Proof of Theorem isores3
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5439 . . . . . . 7  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
2 f1ores 5455 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
32expcom 115 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-> B  -> 
( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
) ) )
41, 3syl5 32 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5 ssralv 3211 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
6 ssralv 3211 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
76adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
8 fvres 5518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 a )  =  ( H `  a
) )
9 fvres 5518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 b )  =  ( H `  b
) )
108, 9breqan12d 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  K  /\  b  e.  K )  ->  ( ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1110adantll 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1211bibi2d 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) )  <->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1312biimprd 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
1413ralimdva 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
157, 14syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
1615ralimdva 2537 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
175, 16syld 45 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
184, 17anim12d 333 . . . . 5  |-  ( K 
C_  A  ->  (
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )  ->  ( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
)  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) ) )
19 df-isom 5205 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
20 df-isom 5205 . . . . 5  |-  ( ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) )  <-> 
( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K )  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  (
a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
2118, 19, 203imtr4g 204 . . . 4  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) ) )
2221impcom 124 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) )
23 isoeq5 5781 . . 3  |-  ( X  =  ( H " K )  ->  (
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  X )  <-> 
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) ) ) )
2422, 23syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( X  =  ( H " K )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) ) )
25243impia 1195 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121   class class class wbr 3987    |` cres 4611   "cima 4612   -1-1->wf1 5193   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196    Isom wiso 5197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205
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