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Theorem isores3 5684
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )

Proof of Theorem isores3
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5334 . . . . . . 7  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
2 f1ores 5350 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
32expcom 115 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-> B  -> 
( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
) ) )
41, 3syl5 32 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5 ssralv 3131 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
6 ssralv 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
76adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
8 fvres 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 a )  =  ( H `  a
) )
9 fvres 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 b )  =  ( H `  b
) )
108, 9breqan12d 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  K  /\  b  e.  K )  ->  ( ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1110adantll 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1211bibi2d 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) )  <->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1312biimprd 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
1413ralimdva 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
157, 14syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
1615ralimdva 2476 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
175, 16syld 45 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
184, 17anim12d 333 . . . . 5  |-  ( K 
C_  A  ->  (
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )  ->  ( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
)  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) ) )
19 df-isom 5102 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
20 df-isom 5102 . . . . 5  |-  ( ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) )  <-> 
( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K )  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  (
a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
2118, 19, 203imtr4g 204 . . . 4  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) ) )
2221impcom 124 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) )
23 isoeq5 5674 . . 3  |-  ( X  =  ( H " K )  ->  (
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  X )  <-> 
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) ) ) )
2422, 23syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( X  =  ( H " K )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) ) )
25243impia 1163 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    C_ wss 3041   class class class wbr 3899    |` cres 4511   "cima 4512   -1-1->wf1 5090   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093    Isom wiso 5094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102
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