Theorem isores3 5951

Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isores3	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Proof of Theorem isores3

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 5579	. . . . . . 7 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
2		f1ores 5595	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
3	2	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
4	1, 3	syl5 32	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-onto-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5		ssralv 3289	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
6		ssralv 3289	. . . . . . . . . 10 |- ( K C_ A -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
8		fvres 5659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. K -> ( ( H |` K ) ` a ) = ( H ` a ) )
9		fvres 5659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. K -> ( ( H |` K ) ` b ) = ( H ` b ) )
10	8, 9	breqan12d 4102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
12	11	bibi2d 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) <-> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
13	12	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
14	13	ralimdva 2597	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
15	7, 14	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
16	15	ralimdva 2597	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
17	5, 16	syld 45	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
18	4, 17	anim12d 335	. . . . 5 |- ( K C_ A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) -> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) ) )
19		df-isom 5333	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
20		df-isom 5333	. . . . 5 |- ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) <-> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( K C_ A -> ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
22	21	impcom 125	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) )
23		isoeq5 5941	. . 3 |- ( X = ( H " K ) -> ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) <-> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
24	22, 23	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( X = ( H " K ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) ) )
25	24	3impia 1224	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   |` cres 4725   "cima 4726   -1-1->wf1 5321   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324   Isom wiso 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333

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