Theorem isores3 5632

Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isores3	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Proof of Theorem isores3

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 5287	. . . . . . 7 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
2		f1ores 5303	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
3	2	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
4	1, 3	syl5 32	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-onto-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5		ssralv 3100	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
6		ssralv 3100	. . . . . . . . . 10 |- ( K C_ A -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
7	6	adantr 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
8		fvres 5364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. K -> ( ( H |` K ) ` a ) = ( H ` a ) )
9		fvres 5364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. K -> ( ( H |` K ) ` b ) = ( H ` b ) )
10	8, 9	breqan12d 3882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
11	10	adantll 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
12	11	bibi2d 231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) <-> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
13	12	biimprd 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
14	13	ralimdva 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
15	7, 14	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
16	15	ralimdva 2453	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
17	5, 16	syld 45	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
18	4, 17	anim12d 329	. . . . 5 |- ( K C_ A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) -> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) ) )
19		df-isom 5058	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
20		df-isom 5058	. . . . 5 |- ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) <-> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( K C_ A -> ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
22	21	impcom 124	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) )
23		isoeq5 5622	. . 3 |- ( X = ( H " K ) -> ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) <-> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
24	22, 23	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( X = ( H " K ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) ) )
25	24	3impia 1143	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   A.wral 2370   C_ wss 3013   class class class wbr 3867   |` cres 4469   "cima 4470   -1-1->wf1 5046   -1-1-onto->wf1o 5048   ` cfv 5049   Isom wiso 5050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058

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