ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ores GIF version

Theorem f1ores 5350
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 5307 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
2 f1f1orn 5346 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
31, 2syl 14 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
4 df-ima 4522 . . 3 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
5 f1oeq3 5328 . . 3 ((𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶)))
64, 5ax-mp 5 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
73, 6sylibr 133 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wss 3041  ran crn 4510  cres 4511  cima 4512  1-1wf1 5090  1-1-ontowf1o 5092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100
This theorem is referenced by:  f1imacnv  5352  f1oresrab  5553  isores3  5684  isoini2  5688  f1imaeng  6654  f1imaen2g  6655  preimaf1ofi  6807  endjusym  6949  dju1p1e2  7021  fisumss  11129
  Copyright terms: Public domain W3C validator