Theorem fczfsuppd 7297

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	|- ( ph -> B e. V )
fczfsuppd.z	|- ( ph -> Z e. W )

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	|- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
2		fczfsuppd.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. W )
3		snexg 4321	. . . 4 |- ( Z e. W -> { Z } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { Z } e. _V )
5	1, 4	xpexd 4890	. 2 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) e. _V )
6		fnconstg 5590	. . 3 |- ( Z e. W -> ( B X. { Z } ) Fn B )
7		fnfun 5478	. . 3 |- ( ( B X. { Z } ) Fn B -> Fun ( B X. { Z } ) )
8	2, 6, 7	3syl 17	. 2 |- ( ph -> Fun ( B X. { Z } ) )
9		fczsupp0 6499	. . . 4 |- ( ( B X. { Z } ) supp Z ) = (/)
10		0fi 7188	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2311	. . 3 |- ( ( B X. { Z } ) supp Z ) e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( ( B X. { Z } ) supp Z ) e. Fin )
13	5, 2, 8, 12	isfsuppd 7290	1 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372  (class class class)co 6085   supp csupp 6475   Fincfn 7022   finSupp cfsupp 7285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-supp 6476  df-en 7023  df-fin 7025  df-fsupp 7286

This theorem is used by: (None)