Theorem fczfsuppd 7263

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	|- ( ph -> B e. V )
fczfsuppd.z	|- ( ph -> Z e. W )

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	|- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
2		fczfsuppd.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. W )
3		snexg 4302	. . . 4 |- ( Z e. W -> { Z } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { Z } e. _V )
5	1, 4	xpexd 4870	. 2 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) e. _V )
6		fnconstg 5570	. . 3 |- ( Z e. W -> ( B X. { Z } ) Fn B )
7		fnfun 5458	. . 3 |- ( ( B X. { Z } ) Fn B -> Fun ( B X. { Z } ) )
8	2, 6, 7	3syl 17	. 2 |- ( ph -> Fun ( B X. { Z } ) )
9		fczsupp0 6472	. . . 4 |- ( ( B X. { Z } ) supp Z ) = (/)
10		0fi 7154	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2307	. . 3 |- ( ( B X. { Z } ) supp Z ) e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( ( B X. { Z } ) supp Z ) e. Fin )
13	5, 2, 8, 12	isfsuppd 7256	1 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   Fun wfun 5351   Fn wfn 5352  (class class class)co 6058   supp csupp 6448   Fincfn 6988   finSupp cfsupp 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-supp 6449  df-en 6989  df-fin 6991  df-fsupp 7252

This theorem is referenced by: (None)