Theorem fczfsuppd 7304

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	|- ( ph -> B e. V )
fczfsuppd.z	|- ( ph -> Z e. W )

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	|- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
2		fczfsuppd.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. W )
3		snexg 4323	. . . 4 |- ( Z e. W -> { Z } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { Z } e. _V )
5	1, 4	xpexd 4892	. 2 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) e. _V )
6		fnconstg 5593	. . 3 |- ( Z e. W -> ( B X. { Z } ) Fn B )
7		fnfun 5481	. . 3 |- ( ( B X. { Z } ) Fn B -> Fun ( B X. { Z } ) )
8	2, 6, 7	3syl 17	. 2 |- ( ph -> Fun ( B X. { Z } ) )
9		0fi 7194	. . 3 |- (/) e. Fin
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (/) e. Fin )
11		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ dom ( B X. { Z } )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (/) C_ dom ( B X. { Z } ) )
13		fconstg 5592	. . . 4 |- ( Z e. W -> ( B X. { Z } ) : B --> { Z } )
14	2, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) : B --> { Z } )
15	14	fimassd 5554	. 2 |- ( ph -> ( ( B X. { Z } ) " ( dom ( B X. { Z } ) \ (/) ) ) C_ { Z } )
16	5, 2, 8, 10, 12, 15	isfsuppfid 7297	1 |- ( ph -> ( B X. { Z } ) finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   dom cdm 4776   Fun wfun 5374   Fn wfn 5375   -->wf 5376   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293

This theorem is used by: (None)