Theorem fczfsuppd 7250

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		fczfsuppd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3		snexg 4297	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → {𝑍} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
5	1, 4	xpexd 4865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6		fnconstg 5565	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
7		fnfun 5453	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
8	2, 6, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
9		fczsupp0 6459	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
10		0fi 7141	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2305	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
13	5, 2, 8, 12	isfsuppd 7243	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ∅c0 3508  {csn 3689   class class class wbr 4109   × cxp 4747  Fun wfun 5346   Fn wfn 5347  (class class class)co 6050   supp csupp 6435  Fincfn 6975   finSupp cfsupp 7238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-supp 6436  df-en 6976  df-fin 6978  df-fsupp 7239

This theorem is referenced by: (None)