Theorem fczfsuppd 7222

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		fczfsuppd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3		snexg 4280	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → {𝑍} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
5	1, 4	xpexd 4847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6		fnconstg 5543	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
7		fnfun 5434	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
8	2, 6, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
9		fczsupp0 6437	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
10		0fi 7116	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2304	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
13	5, 2, 8, 12	isfsuppd 7215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496  {csn 3673   class class class wbr 4093   × cxp 4729  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  (class class class)co 6028   supp csupp 6413  Fincfn 6952   finSupp cfsupp 7210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-supp 6414  df-en 6953  df-fin 6955  df-fsupp 7211

This theorem is referenced by: (None)